확률과정론의 인크리먼트

확률과정론의 인크리먼트

Increment of stochastic process

정의

확률과정 $\xi(t)$ 이 시간 $T$ 에서 정의되었고 $t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{n} \in T$ 이라고 하자.

  1. $\xi ( t ) - \xi ( s )$ 를 인크리먼트라 한다.
  2. 모든 $i=1, \cdots , n$ 에 대해 $\xi ( t_{i} ) - \xi ( t_{i-1} )$ 들이 서로 독립이면 $\xi(t)$ 이 독립 인크리먼트Independent Increment를 갖는다고 한다.
  3. 모든 $h>0$ 와 $t,s,t+h,s+h \in T$ 에 대해 $\xi (t+h) - \xi ( s + h )$ 가 같은 확률분포를 가지면 $\xi(t)$ 이 정상적 인크리먼트Stationary Increment를 갖는다고 한다.

설명

인크리먼트Increment는 원래 ‘Increase'의 명사형으로써 ‘증가’라는 의미를 갖고 있지만 확률과정이라는 점에서 딱히 ‘커진다’라고 말하긴 애매하고, 정말로 값이 커지느냐 작아지느냐에 관심을 두는 것도 아니므로 ‘증감’이라는 표현도 적절치 않다. 그저 앞 시간과 뒷 시간이 있어서 시간의 값이 증가하긴한다.

이러한 인크리먼트가 특정 시점에 관계 없이 시차에 따라서만 바뀐다면 마치 마코프 체인처럼 다루기가 편리해질 것이다. 독립성과 정상성은 ‘좋은 확률과정’이 되기 위한 필수적인 조건이라고 할 수 있다. 이러한 조건들을 모두 만족시킨다면 익히 알듯 iid(independent identically distributed)가 된다. 특히 확률과정의 정상성은 이론적인만큼 시계열분석에서의 정상성보다 조금 더 강한 조건을 만족시켜야함을 알아두도록 하자.

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