베타 함수의 이상적분꼴 표현

베타 함수의 이상적분꼴 표현

improper integral representation of beta function

정리

베타함수: $$ B(p,q)=\int_{0}^{1}t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt\quad \cdots (1) $$

베타함수를 아래와 같은 이상적분으로 표현할 수 있다. $$ B(p,q)=\int_{0}^{\infty}\frac{ t^{p-1} }{ (1+t)^{p+q}}dt\quad \cdots (2) $$

설명

위 식을 이용하면 계산하기 어려운 적분값을 쉽게 얻을 수 있다. 증명은 어렵지 않다.

증명

$(1)$에서 $t=\frac{x}{1+x}$라고 치환하자. 그러면 $1-t=\frac{1}{1+x}$이고, 적분 범위는 $\int_{0}^{1}\rightarrow \int_{0}^{\infty}$로 바뀐다. 또한 $ \displaystyle \frac{ d t }{ d x }=\frac{1}{1+x}-\frac{x}{(1+x)^{2}}=\frac{1}{(1+x)^{2}}$이므로 $dt=\dfrac{1}{(1+x)^{2}}dx$이고, 이를 $(1)$에 대입하면 $$ \begin{align*} B(p,q) &= \int_{0}^{\infty}\frac{ x^{p-1} }{ (1+x)^{p-1} }\frac{ 1 }{ (1+x)^{q-1 } }\frac{ 1 }{ (1+x)^{2} }dx \\ &= \int_{0}^{\infty}\frac{ x^{p-1} }{ (1+x)^{p+q} }dx \\ &= \int_{0}^{\infty}\frac{ t^{p-1} }{ (1+t)^{p+q} }dt \end{align*} $$

예제

$\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{ x^{5} }{ (1+x)^{8} }dx$를 계산하라.

풀이

위 적분은 $(2)$에서 $p=6$, $q=2$인 경우이므로 $$ \begin{align*} \int_{0}^{\infty}\frac{ x^{5} }{ (1+x)^{8} }dx &= B(6,2) \\ &= \frac{ \Gamma(6)\Gamma(2) }{ \Gamma(6+2) } \\ &= \frac{ 5!1! }{ 7! } \\ &= \frac{ 1 }{ 42} \end{align*} $$ 두번째 등호에서 관계식 $B(p,q)=\dfrac{ \Gamma(p)\Gamma(q) }{ \Gamma(p+q) }$를 사용했다.

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