파동함수의 상대적 위상의 중요성

파동함수의 상대적 위상의 중요성

importance of phases


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파동함수는 코사인으로 표현할 수 있는 것은 물론 복소수 꼴로 표현할 수도 있다.$\psi=Re^{i\theta}$이 때 물리적으로 의미를 가지는 것은 $\psi$가 아니라 $ | \psi | ^2$이기 때문에 위상은 중요하지 않다.계산하면 어차피 결과에는 반영되지 않는 부분이다.즉, 아무렇게나 바꿔도 상관 없다는 말이다.다만 파동함수를 다른 두 파동함수의 합으로 나타내는 경우는 얘기가 다르다.두 파동함수의 합으로 나타낼 경우 각 함수의 위상을 마음대로 바꿀 수 없다.왜 그런지 알아보자$\psi_1=R_1e^{i\theta_1} $$ \psi_2=R_2e^{i\theta_2} $$ \psi=\psi_1+\psi_2$라고 하자.$ \displaystyle \begin{align*} \psi^{\ast}\psi =&(\psi_1^{\ast}+\psi_2^{\ast})(\psi_1+\psi_2) \\ =&\ | \psi_1|^2 +|\psi_2|^2+ \psi_1^{\ast}\psi_2+\psi_2^{\ast}\psi_1 \\ =&\ {R_1}^2+{R_2}^2+R_1R_2e^{i(\theta_2-\theta_1)}+R_1R_2e^{i(\theta_1-\theta_2)} \\ =&{R_1}^2+{R_2}^2+R_1R_2 \color{blue}{\left[ e^{i(\theta_2-\theta_1)}+e^{i(\theta_1-\theta_2)} \right]} \\ =&\ {R_1}^2 + {R_2}^2 +2R_1R_2\cos(\theta_1-\theta_2) \end{align*} $파란부분의 풀이 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$이므로$ \begin{align*} e^{i(\theta_2-\theta_1)}+e^{i(\theta_1-\theta_2)} =&\ \cos (\theta_2-\theta_1)+i\sin (\theta_2-\theta_1)+\cos (\theta_1-\theta_2)+i\sin (\theta_1-\theta_2) \\ =&[ \cos (\theta_2-\theta_1)+\cos (\theta_1-\theta_2)]+[i\sin (\theta_2-\theta_1)+i\sin (\theta_1-\theta_2)] \\ =&\2cos(\theta_1-\theta_2) \end{align*} $$ \psi$가 아니라 $ | \psi |^2$에 물리적 의미가 있다고 했다.그런데 위에서 계산한 결과를 보면 두 파동함수의 합으로 나타낸 경우에는$| \psi |^2={R_1}^2 + {R_2}^2 +2R_1R_2 \color{red}{\cos(\theta_1-\theta_2)}$ 이므로빨간색 코사인부분 때문에 각 파동함수의 위상을 마음대로 바꿀 수 없게 된다.$\theta_1$나 $\theta_2$를 다른 값으로 바꿨다간 전체의 결과가 달라진다.파동함수를 $\psi=Re^{i\theta}$로 나타낸 경우엔 $\theta$가 영향을 끼치지 못하지만위처럼 두 파동함수의 합으로 나타낸 경우에는 그렇지 않으니 주의해야한다.참고로 코사인이 포함된 항이 간섭현상을 나타낸다.

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