수학에서 임베딩, 넣기사상

수학에서 임베딩, 넣기사상

정의1

$(X, \left\| \cdot \right\|_{X}), (Y, \left\| \cdot \right\|_{Y})$가 놈 공간이라고 하자. $X$와 $Y$에 대해서 아래의 두 조건이 성립하면 $X$가 $Y$로 임베딩되었다imbedded고 하고, $I : X \to Y$를 임베딩imbedding이라 한다.

설명

항등 작용소는 선형이므로, 두번째 조건은 $I$가 유계인 것과 동치이다. 따라서 다음과 같이 바꿔쓸 수 있다.

$$ \exists M \gt 0 \text{ such that } \left\| Ix \right\|_{{Y}} \le M \left\| x \right\|_{X},\quad x \in X $$

임베딩 오퍼레이터 $I$가 컴팩트이면, $X$가 $Y$ 안으로 컴팩트하게 임베드되어있다compactly imbedded고 한다.

$f : X \to Y$가 등거리 임베딩이라는 말은 $f : X \to f(X)$가 등거리 사상이라는 말이다. 정리2에 의해 모든 거리공간이 완비거리공간으로 등거리 임베딩이 가능하다는 것을 알 수 있다. 즉, 모든 거리공간은 완비거리공간의 부분집합으로 취급할 수 있다.

정리

정리1

$X, Y$를 거리공간이라고 하자. $f : X \to Y$를 등거리 사상이라고 하자. 그러면 $f$는 임베딩이다.

정리2

$(X, d_{X})$를 거리공간이라고 하자. $(Y,d_{Y})$를 완비거리공간이라고 하자. 그러면 등거리 임베딩 $f : X \to Y$가 존재한다.

같이보기


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p9 ↩︎

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