환의 영인자가 멱등원이면 직합으로 나타낼 수 있다

환의 영인자가 멱등원이면 직합으로 나타낼 수 있다

정리

$R$ 의 영인자 $a$ 가 $a^2 = a$ 를 만족하면, 즉 멱등원이면 $$ R = a R \times (1-a)R $$

설명

따로 환에 대한 직합을 정의하지 않아도 알 수 있을 정도로 수학다운 매력이 있는 정리다.

증명

Part (i). 존재성

$r \in R$ 에 대해 $$ ar \in aR \\ (1-a) r \in (1-a) R $$ 이며, $r = ar + (1-a)r$ 이므로 $R = a R \times (1-a)R$ 다.


Part (ii). 유일성

$r_{1}, r_{2}, r_{3} , r_{4} \in R$ 에 대해 $$ \begin{align*} a r_{1} =& x_{1} \in aR \\ a r_{3} =& x_{2} \in aR \\ (1-a) r_{2} =& y_{1} \in (1-a) R \\ (1-a) r_{4} =& y_{2} \in (1-a) R \end{align*} $$ 이라 두고 $x_{1} = x_{2}$ 와 $y_{1} = y_{2}$ 를 보이면 된다. $$ \begin{align*} & x_{1} + y_{1} = x_{2} + y_{2} \\ \implies& a r_{1} + (1-a) r_{2} = a r_{3} + (1-a) r_{4} \\ \implies& a^2 r_{1} + a(1-a) r_{2} = a^2 r_{3} + a(1-a) r_{4} \end{align*} $$ $a^2 = a$ 이고 $a(1-a) = a - a^2 = a-a = 0$ 이므로, $$ x_{1} = a r_{1} = a^2 r_{1} = a^2 r_{3} = a r_{3} = x_{2} \\ a r_{1} + (1-a) r_{2} = a r_{3} + (1-a) r_{4} $$ $a r_{1} = a r_{3}$ 이므로 $$ (1-a) r_{2} = (1-a) r_{4} $$ 따라서 $$ y_{1} = (1-a) r_{2} = (1-a) r_{4} = y_{2} $$


Part (iii). 배타성

$x \in aR \cap (1-a)R$ 이라고 하면 어떤 $r_{1} , r_{2} \in R$ 에 대해서 $$ x = a r_{1} = (1-a) r_{2} $$ 이다. 양변에 $a$ 를 곱하면 $$ ax = a^2 r_{1} = a(1-a) r_{2} = (a - a^2) r_{2} = 0 \cdot r_{2} = 0 $$ 이다. $x=a r_{1} = a^2 r_{1} = 0$ 이므로 다음을 얻는다. $$ aR \cap (1-a)R = \left\{ 0 \right\} $$

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