레귤러 마틴게일이면 균등적분가능 마틴게일이다

레귤러 마틴게일이면 균등적분가능 마틴게일이다

정의

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 가 주어져 있다고 하자. 확률 변수의 집합 $\Phi$ 가 주어져있다고 할 때, 모든 $\varepsilon>0$ 에 대해 $$ \displaystyle \sup_{ X \in \Phi } \int_{ \left( \left| X \right| \ge k \right) } \left| X \right| dP < \varepsilon $$ 를 만족하는 $k \in \mathbb{N}$ 가 존재하면 $\Phi$ 가 균등적분가능하다고 말한다. 확률 과정 $\left\{ X_{n} \right\}$ 가 균등적분가능하면 마틴게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 균등적분가능하다고 말한다.

정리

마틴게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 레귤러균등적분가능이다.

설명

하필 $|X| \ge k$ 를 생각하는 이유를 알고나면 정의를 받아들이기가 더 쉬워진다. 확률론에서 균등적분가능인지를 묻는 것은 확률 과정이 항상 퍼스트 모멘트를 가지는지 묻는 것과 같다. 다시 말해 $E |X_{n}| <\infty$ 를 체크하는건데, 자연수 $k \in \mathbb{N}$ 이 픽스되어있다면 $$ \displaystyle E |X_{n}| = \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP + \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } \left| X_{n} \right| dP $$ 이므로 $$ \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } \left| X_{n} \right| dP <& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } k dP \\ <& \int_{ \Omega } k dP \\ <& k P ( \Omega ) \\ <& \infty \end{align*} $$ 이고, $\displaystyle \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } \left| X_{n} \right| dP$ 은 생각할 필요가 없어져서 $\displaystyle \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP$ 이 유한한지만 체크하면 된다.

증명

모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 다음을 만족하는 $k \in \mathbb{N}$ 이 존재함을 보이면 된다. $$ \displaystyle \sup_{ n \in \mathbb{N} } \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP < \varepsilon $$


Part 1. $\displaystyle \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M {{ E |X_{n} | } \over {k}} $

조건부 기대값의 성질:

  • [3]: $X$ 가 $\mathcal{F}$-가측이면 $E(X|\mathcal{F}) =X \text{ a.s.}$
  • [10]: $\left| E( X | \mathcal{G} ) \right| \le E ( | X | | \mathcal{G} ) \text{ a.s.}$
  • [11]: 모든 시그마 필드 $\mathcal{G}$ 에 대해 $E \left[ E ( X | \mathcal{G} ) \right] = E(X)$

가정에서 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 은 레귤러 마틴게일이므로 $X_{n} = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right)$ 를 만족하는 적분가능한 확률변수 $\eta$ 가 존재한다. 조건부 기대값의 성질 [3], [10]에 따라 $$ \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP =& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) \right| dP \\ \le & \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } E \left( | \eta| | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } | \eta| dP \end{align*} $$ 이제 $\left( \left| X_{n} \right| \ge k \right)$ 을 $\left( \left| \eta \right| > M \right)$ 와 $\left( \left| \eta \right| \le M \right)$ 두 부분으로 쪼개면 $$ \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP =& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \cap \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \cap \left( \left| \eta \right| \le M \right)} | \eta| dP \\ \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } M dP \\ \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M P \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \end{align*} $$

마코프 부등식: $$ \displaystyle P(u(X) \ge c) \le {E(u(X)) \over c} $$

마코프 부등식에 의해 $$ \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M P \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \\ \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M {{ E |X_{n} | } \over {k}} \end{align*} $$


Part 2. $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + {{M} \over {k}} E | \eta | \text{ a.s.}$

$X_{n} = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right)$ 이므로 조건부 기대값의 성질 [10], [11]에 따라 $$ \begin{align*} E |X_{n} | =& E \left| E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ \le & E E \left( \left| \eta \right| | \mathcal{F}_{n} \right) \\ \le & E | \eta | \end{align*} $$ 이므로 Part 1에 이어 다음의 부등식을 얻는다. $$ \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + {{M} \over {k}} E | \eta | $$ 이는 모든 $n \in \mathbb{N}$ 과 $M>0$ 에 대해서 성립하므로 $$ \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + {{M} \over {k}} E | \eta | $$


Part 3. $\displaystyle \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP < {{\varepsilon} \over {2}}$

지배 수렴 정리: 가측집합 $E \in \mathcal{M}$ 와 $g \in \mathcal{L}^{1} (E)$ 에 대해 가측함수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 이 $E$ 의 거의 어디서나 $|f_{n}| \le g$ 를 만족한다고 하자. 만약 $E$ 의 거의 어디서나 $\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_{n}$ 이면, $f \in \mathcal{L}^{1}(E)$ 그리고 $$ \displaystyle \lim_{ n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) dm = \int_{E} f dm $$

$|\eta| \mathbb{1}_{\left( \left| \eta \right| > M \right) } \le | \eta|$ 이므로 지배 수렴 정리에 따라 $$ \begin{align*} \lim_{M \to \infty} \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta | dP =& \lim_{M \to \infty} \int_{ \Omega } | \eta | \mathbb{1}_{\left( \left| \eta \right| > M \right) } dP \\ =& \int_{ \Omega } \lim_{M \to \infty} | \eta | \mathbb{1}_{\left( \left| \eta \right| > M \right) } dP \\ =& 0 \end{align*} $$ 다시 말해, 모든 $\displaystyle {{\varepsilon} \over {2}} > 0$ 에 대해 $$ \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP < {{\varepsilon} \over {2}} $$ 를 만족하는 $M$ 이 존재한다.


Part 4. $\displaystyle {{M} \over {k}} E | \eta | < {{\varepsilon} \over {2}}$

위의 Part 3에 따라 $$ \displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le {{\varepsilon} \over {2}} + {{M} \over {k}} E | \eta | $$ 를 만족시키는 $M$ 이 존재한다. 이 $M$ 과 모든 $\displaystyle {{\varepsilon} \over {2}} > 0$ 에 대해서 $$ {{M} \over {k}} E | \eta | < {{\varepsilon} \over {2}} $$ 를 만족시키는 $k \in \mathbb{N}$ 이 존재한다. 모든 $\varepsilon >0$ 에 대해 다음을 만족시키는 $k \in \mathbb{N}$ 가 존재하므로, 레귤러 마틴게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 은 균등적분가능하다. $$ \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le {{\varepsilon} \over {2}} + {{\varepsilon} \over {2}} = \varepsilon $$

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