n차 적률이 존재하면 차수가 n보다 작은 적률도 존재한다

n차 적률이 존재하면 차수가 n보다 작은 적률도 존재한다

정리

확률변수 $X$와 자연수 $n$ 에 대해 $E( X^n )$ 이 존재하면 $E( X^m ), m=1,2,3,\cdots, n$ 도 존재한다.

설명

어떤 차수의 적률이든 존재하기만 한다면 그보다 작은 차수의 적률은 항상 존재하지만, 당연히 역은 성립하지 않는다. 물론 실제로 문제를 접해보면 높은 차수의 적률이 먼저 주어지는 경우는 거의 없으나, 어떤 정리의 조건을 나열할 때 지면을 상당히 절약할 수 있게 해주는 정리긴 하다.

증명

전략: 확률변수의 절댓값으로 우회해서 대소관계를 보인 후 원래 보이려던 부등식으로 돌아온다. 본 증명은 연속확률분포에 대한 것이지만, 같은 방법으로 이산확률분포에 대해서도 증명이 가능하다.


확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f$ 라고 하자.

Part 1. $E \left( X^{n} \right) < \infty \implies E \left( |X|^{n} \right) < \infty$

$E \left( |X|^{n} \right) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|^{n} f(x) dx= \infty$ 라고 가정하면 $$ \int_{0}^{\infty} |x|^{n} f(x) dx= \infty $$ 혹은 $$ \int_{-\infty}^{0} |x|^{n} f(x) dx= \infty $$ 한편 $\begin{cases} \displaystyle \int_{0}^{\infty} |x|^{n} f(x) dx= \int_{0}^{\infty} x^{n} f(x) dx \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{0} |x|^{n} f(x) dx = (-1)^{n} \int_{-\infty}^{0} x^{n} f(x) dx \end{cases}$ 이므로 $$ E \left( X^{n} \right) = \int_{-\infty}^{\infty} x^{n} f(x) dx = \int_{0}^{\infty} x^{n} f(x) dx - \int_{-\infty}^{0} x^{n} f(x) dx = \infty $$


Part 2. $E \left( |X|^{n} \right) < \infty \implies E \left( |X|^{m} \right) < \infty$

$$ \begin{align*} E \left( |X|^{m} \right) =& \int_{-\infty}^{\infty} |x|^{m} f(x) dx \\ =& \int_{|x|<1} |x|^{m} f(x) dx + \int_{|x|>1} |x|^{m} f(x) dx \\ \le & \int_{|x|<1} f(x) dx + \int_{|x|>1} |x|^{n} f(x) dx \\ \le & \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx + \int_{-\infty}^{\infty} |x|^{n} f(x) dx \\ \le & 1 + E \left( |X|^{n} \right) \\ <& \infty \end{align*} $$


Part 3. $E \left( |X|^{m} \right) < \infty \implies E \left( X^{m} \right) < \infty$

$$ \begin{align*} E \left( X^{m} \right) =& \int_{-\infty}^{\infty} x^{m} f(x) dx \\ \le & \left| \int_{-\infty}^{\infty} x^{m} f(x) dx \right| \\ \le & \int_{-\infty}^{\infty} | x | ^{m} f(x) dx \\ =& E \left( |X|^{m} \right) \\ <& \infty \end{align*} $$ Part 1. ~Part 3. 를 정리하면 $E \left( X^{n} \right) < \infty \implies E \left( X^{m} \right) < \infty$ 를 얻는다.

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