곡선의 도함수가 연속이면 길이를 잴 수 있는 곡선이다

곡선의 도함수가 연속이면 길이를 잴 수 있는 곡선이다

정리1

만약 $\gamma ^{\prime}$이 구간 $[a,b]$에서 연속이면, $\gamma$는 길이를 잴 수 있는 곡선이고 다음의 식이 성립한다.

$$ \Lambda (\gamma) = \int _{a} ^{b} \left| \gamma'(t) \right| dt $$

증명

$P=\left\{ a=x_{0},\dots,x_{n}=b \right\}$를 구간 $[a,b]$의 임의의 분할이라고 하자. $a\le x_{i-1}<x_{i}\le b$라고 하면 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \left| \gamma(x_{i})-\gamma(x_{i-1}) \right| &= \left| \int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\gamma ' (t)dt \right| \\ &\le \int_{x_{i-1}}^{x_{i}} \left| \gamma ' (t) \right|dt \end{align*} $$

첫번째 줄은 미분적분학의 기본정리2에 의해서 성립하고, 두번째 줄은 절댓값의 적분이 적분의 절댓값보다 크므로 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.

$$ \Lambda(P,\gamma) \le \int _{a} ^{b} \left| \gamma' (t) \right| dt $$

이는 구간 $[a,b]$ 내의 모든 구간에 대해서 성립하므로 다음을 얻는다.

$$ \Lambda(\gamma) \le \int _{a} ^{b} \left| \gamma' (t) \right| dt $$

따라서 Part 1., Part 2. 에 의해 다음이 성립한다.

$$ \Lambda (\gamma) = \int _{a} ^{b} \left| \gamma'(t) \right| dt $$


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p137 ↩︎

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