L1 수렴 마틴게일이면 클로저블 마틴게일이다

L1 수렴 마틴게일이면 클로저블 마틴게일이다

정리

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 과 마틴게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 주어져 있다고 하자. 확률 과정 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 확률 변수 $Y$ 로 $\mathcal{L}_{1}$하면 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ): n = 1 , \cdots , \infty \right\}$ 은 클로저블 마틴게일이다.

설명

원래 $X_{n}$ 이 $Y$ 로 $\mathcal{L}_{1}$ 수렴하고 $X_{n}$ 이 $X_{\infty}$ 로 거의 확실히 수렴한다고 해도 $Y$ 와 $X_{\infty}$ 이 어떤 관계가 있다고 장담할 수는 없다. $$ X_{n} \overset{\mathcal{L}_{1}}{\to} Y \land X_{n} \overset{\text{a.s.}}{\to} X_{\infty} \nRightarrow Y = X_{\infty} $$ 수식으로 다시 쓰자면 위와 같은데, 증명과정에서 마틴게일의 경우 $Y \overset{\text{a.s.}}{=} X_{\infty}$ 가 성립함을 확인 할 수 있다.

증명

Part 1. $E |X_{n}| \to E |Y|$

$\left\{ X_{n} \right\}$ 이 어떤 확률 변수 $Y$ 로 $\mathcal{L}_{1}$ 수렴한다는 것은 다음과 같다. $$ \lim_{n \to \infty} \int_{\Omega} | X_{n} - Y | dP = \lim_{n \to \infty} E | X_{n} - Y | = 0 $$ 일반성을 잃지 않고, $\left| |a| - |b| \right| \le | a - b|$ 이므로 $$ \begin{align*} \left| E | X_{n} | - E | Y | \right| \le & \left| E \left( | X_{n} | - | Y | \right| \right) \\ \le & E \left| |X_{n}| - |Y| \right| \\ \le & E \left| X_{n} - Y \right| \end{align*} $$ 즉 $n \to \infty$ 일 때 $E |X_{n}| \to E |Y|$ 이다.


Part 2. $Y \overset{\text{a.s.}} = X_{\infty} $

서브 마틴게일 수렴 정리: 확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 서브 마틴게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 주어져 있다고 하자.

$\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty$ 이라고 하면 $X_{n}$ 은 어떤 확률 변수 $X_{\infty}: \Omega \to \mathbb{R}$ 로 거의 확실히 수렴하고 $$E X_{\infty} < E X_{\infty}^{+} < \infty$$

$E |X_{n}| \to E |Y|$ 이므로 $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty$ 이다. 물론 $E X_{n}^{+} \le E | X_{n} | < \infty$ 이고 마틴게일은 서브 마틴게일이므로 서브 마틴게일 수렴 정리에 따라 확률과정 $\left\{ X_{n} \right\}$ 은 어떤 확률변수 $X_{\infty}$ 로 거의 확실히 수렴한다. 따라서 $Y \overset{\text{a.s.}}{=} X_{\infty}$ 이다.


Part 3. $E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right)= X_{n}$

일반성을 잃지 않고, $Z \ge 0 \land E Z = 0 \implies Z \le 0$ 이므로 $E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| = 0$ 임을 보이면 충분하다. $m > n$ 을 생각해보면 $$ \begin{align*} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| =& E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - E \left( X_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ =& E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - E \left( X_{m} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ =& E \left| E \left( X_{\infty} - X_{m} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ \le & E \left[ E \left( \left| X_{\infty} - X_{m} \right| | \mathcal{F}_{n} \right) \right] \\ =& E | X_{\infty} - X_{m} | \end{align*} $$ 양변에 $\displaystyle \lim_{m \to \infty}$ 을 취하면 Part 1~2에 따라 $$ \begin{align*} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| &= \lim_{m \to \infty} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| \\ \le & \lim_{m \to \infty} E | X_{\infty} - X_{m} | \\ \le & 0 \end{align*} $$ 따라서 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ): n = 1 , \cdots , \infty \right\}$ 은 클로저블 마틴게일이 됨을 확인할 수 있다.

댓글