분포수렴하면 확률유계다

분포수렴하면 확률유계다

If Convergence in distribution then bounded in Probability

정리

확률변수시퀀스 $\left\{ X_{n} \right\}$ 가 분포수렴하면 확률유계다.


설명

앞서 확률수렴하면 분포수렴함을 보였으므로, 이 대우 명제를 생각해보면 ‘확률유계가 아니면 확률수렴하지 않는다’는 상식적인 따름정리도 얻을 수 있다.

증명

$\epsilon>0$ 가 주어져 있고 $X_{n}$ 이 확률변수 $X$ 로 분포수렴하며 그 누적분포함수가 $F_{X}$ 라고 하자. 그러면 $\displaystyle x \le \eta_{1}$ 에서 $\displaystyle F_{X}(x) < {\epsilon \over 2}$ 이고 $\displaystyle x \ge \eta_{2}$ 에서 $\displaystyle F_{X}(x) > 1- {\epsilon \over 2}$ 를 만족하는 $\eta_{1}, \eta_{2}$ 를 찾을 수 있다. 이제 $\eta = \max ( | \eta_{1} | , | \eta_{2} | )$ 라고 하면 $$ \begin{align*} P[|X|\le \eta] =& F_X (\eta) - F_X (-\eta) \\ \ge& \left( 1 - {\epsilon \over 2} \right) - {\epsilon \over 2} \\ =& 1- \epsilon \end{align*} $$ 이제 $X$ 에 분포수렴하는 $X_{n}$ 에 대해 생각해보면$\displaystyle P[|X_{n}|\le \eta] = F_{X_{n}} (\eta) - F_{X_{n}} (-\eta)$양변에 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}$를 취하면(즉 적당히 큰 $N_{\epsilon}$ 을 계속해서 택하면) 분포수렴이라는 가정에서 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} F_{X_{n}}(x) = F_X(x)$ 이므로 $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} P[|X_{n}|\le \eta] =& \lim_{n \to \infty} F_{X_{n}} (\eta) - \lim_{n \to \infty} F_{X_{n}} (-\eta) \\ =& F_X (\eta) - F_X (-\eta) \\ \ge& 1 - \epsilon \end{align*} $$ 확률유계의 정의에 의해 $\left\{ X_{n} \right\}$ 는 확률유계다.

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