디리클레 곱에 대한 아이덴터티

디리클레 곱에 대한 아이덴터티

정의 1

다음과 같이 정의된 산술 함수 $I$ 를 아이덴터티 함수라 한다. $$ I(n) := \left[ {{ 1 } \over { n }} \right] $$


설명

$$ \begin{matrix} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ I(n) & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sum_{d \mid n} I(d) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} $$ 대부분의 수학에서 항등 함수라는 이름은 $i(x) = x$ 와 같이 정의역의 원소가 그 스스로에게 매핑되는 함수에게 붙지만, 적어도 해석적 정수론에서는 놈 $N (n) = n$ 으로 불린다. $I$ 는 보다시피 컨볼루션 $\ast$ 에 대해 항상 존재해주는 항등원의 역할을 하기 때문에 아이덴터티라는 이름으로 불릴 수 있게 되었다.

증명

[1]

$\displaystyle I(n) = \left[ {{ 1 } \over { n }} \right] = \begin{cases} 1 & , n=1 \\ 0 &, n>1 \end{cases}$ 이다. 따라서 $$ \sum_{d \mid n}I(d) = 1 + 0 + \cdots = 1 $$

[2]

[a]

$d$ 는 $n$ 의 약수이므로 $d \ne n$ 인 경우에서는 $\displaystyle \left[ {{ d } \over { n }} \right] = 0$ 이고 $$ (f \ast\ I)(n) = \sum_{d \mid n} f(d) I \left( {{ n } \over { d }} \right) = \sum_{d \mid n} f(d) \left[ {{ d } \over { n }} \right] = f(n) $$ 산술 함수의 컨볼루션의 교환 법칙에 따라 $f \ast\ I = I \ast\ f = f$


  1. Apostol. (1976). Introduction to Analytic Number Theory: p30. ↩︎

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