치환을 이용한 비동차 오일러 미분 방정식의 풀이

치환을 이용한 비동차 오일러 미분 방정식의 풀이

How to Solve Nonhomogenuous Euler Differential Equations Using Substitutions

정의

다음과 같이 주어진 미분 방정식을 오일러 미분 방정식Euler differential equation이라 한다.

$$ \begin{align} && a_2 x^2 \dfrac{d^2 y}{d x^2} + a_1 x \dfrac{dy}{dx} + a_0 y &= f(x) \label{eq1} \\ \mathrm{or}&& a_2 x^2 y^{\prime \prime} + a_1 x y^{\prime} +a_0 y &= f(x) \nonumber \\ \mathrm{or}&& x^2 y^{\prime \prime} + \alpha x y^{\prime} + \beta y &= f(x) \nonumber \end{align} $$

설명

오일러-코시 방정식Euler-Cauchy equation이라고도 부른다.

$f(x)=0$인 동차방정식 꼴이라면 비교적 쉽게 풀 수 있다.

위와 같은 비동차 방정식 꼴이라면 계수에 독립변수가 있는 꼴이라 풀기 쉽지 않다. 계수가 상수인 미분 방정식과 비교하면 훨씬 어렵다. 이 글에서는 여러 방법 중 치환을 통해 오일러 방정식을 쉽게 푸는 방법을 소개한다. 핵심은 $x$를 $e^z$로 치환하는 것이다. $x=e^z$라고 두면 오일러 방정식이 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식이 된다. 그러면 2계 비동차 미분방정식의 풀이를 참고해서 쉽게 풀 수 있다

풀이

Step 0.

$x=e^z$라고 치환한다. 그러면

$$ \ln x = z, \quad \quad \dfrac{1}{x}=\dfrac{dz}{dx} $$

Step 1.

$$ \begin{align*} x \dfrac{dy}{dx} &= x\dfrac{dy}{dz} \dfrac{dz}{dx} \\ &= x \dfrac{dy}{dz} \dfrac{1}{x} \\ &= \dfrac{dy}{dz} \end{align*} $$

$$ \implies x\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dz} $$

첫번째 등호는 연쇄법칙에 의해 성립한다.

Step 2.

$$ \begin{align*} x^2 \dfrac{ d^2 y}{d x^2} &=x^2 \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{dy}{dx} \right) \\ &= x^2 \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{x} \dfrac{dy}{dz} \right) \\ &= -\dfrac{dy}{dz} + x\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{dy}{dz} \right) \\ &= -\dfrac{dy}{dz} + x\dfrac{d}{dz} \left( \dfrac{dy}{dz} \right) \dfrac{dz}{dx} \\ &= -\dfrac{dy}{dz} + x \dfrac{d^2y}{dz^2} \dfrac{1}{x} \end{align*} $$

$$ \implies x^2 \dfrac{ d^2 y}{d x^2} = \dfrac{d^2y}{dz^2} -\dfrac{dy}{dz} $$

두번째 등호는 Step 1. 의 결과에 의해 성립한다. 네번째 등호는 연쇄법칙에 의해 성립한다. 마지막 등호는 Step 0. 의 결과에 의해 성립한다.

Step 3.

Step 1-2. 의 결과를 오일러 방정식 $\eqref{eq1}$에 대입하면

$$ a_2 \left( \dfrac{d^2y}{dz^2} -\dfrac{dy}{dz} \right) + a_1 \dfrac{dy}{dz} + a_0 y =f(e^z) $$

$$ \implies a_2 \dfrac{d^2y}{dz^2} + (a_1-a_2) \dfrac{dy}{dz} + a_0 y =f(e^z) $$

이제 2계 비동차 미분방정식의 풀이법대로 풀면 된다.

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