변수분리법을 사용하여 원통 좌표계에서 제트축에 무관한 라플라스 방정식의 풀이

변수분리법을 사용하여 원통 좌표계에서 제트축에 무관한 라플라스 방정식의 풀이

how to solve laplace equation with cylindrical symmetry in cylindrical coordinates using separation of variables


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원기둥 좌표계에서 원통 대칭$(\mathrm{ cylindrical\ symmetry})$이 있을 때의 라플라스 방정식의 일반해는$V(s,\phi) = A_0 \ln s +B_0 +\sum \limits _{k=1} ^\infty ( A_k s^k ++ B_k s^{-k} )( C_k\cos k\phi + D_k\sin k\phi)$

0. 전위를 구할 때 경계조건$(\mathrm{boundary\ condition})$이 원통 좌표계로 표현하기 쉬운 경우라면 원통 좌표계에 대한 라플라스 방정식을 풀어야 한다. 여기여기 를 참고하면 원통 좌표계에서 라플라스 방정식이 아래와 같음을 알 수 있다. $$ \nabla ^2 V = \dfrac{1}{s} \dfrac{\partial }{ \partial s} \left( s\dfrac{\partial V}{\partial s} \right) + \dfrac{1}{s^2} \dfrac{\partial ^2 V}{\partial \phi^2 } +\dfrac{\partial ^2 V }{\partial z^2 }=0 $$ 이 때 전위 $V$가 $z$에 무관한 함수라고 하자. 다시 말해 다른 값은 같고 $z$만 변할 때는 $V$의 값이 변하지 않는다는 가정이다. 그러면 $z$에 대한 $V$의 변화량이 $0$이고 이는 $\dfrac{\partial V}{\partial z}=0$을 뜻하므로 세번째 항이 사라진다. $$ \dfrac{1}{s} \dfrac{\partial }{ \partial s} \left( s\dfrac{\partial V}{\partial s} \right) + \dfrac{1}{s^2} \dfrac{\partial ^2 V}{\partial \phi^2 } =0\ \ \cdots (1) $$ 전위 $V(s,\phi)$가 변수 분리 가능한 함수라고 하자. $V$가 $s$만의 함수 $S(s)$와 $\phi$만의 함수 $\Phi (\phi)$의 곱으로 이루어져있다고 가정한다는 말이다. $V(s,\phi)=S(s) \Phi (\phi)$를 $(1)$에 대입하면 아래와 같다. $$ \dfrac{1}{s} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{d S}{d s} \right) \Phi + \dfrac{1}{s^2} \dfrac{d ^2 \Phi }{d \phi ^2 } S=0 $$ 양 변에 $\dfrac{s^2}{S \Phi}$를 곱해주면 $$ \dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{d S}{d s} \right) + \dfrac{1}{\Phi} \dfrac{d ^2 \Phi }{d \phi ^2 } =0 $$ 이 방정식이 성립하려면 첫째항 둘째항이 모두 상수여야한다. 왜냐하면 $s$의 값이 바뀌면 첫째항만 영향을 받고 둘째항은 $s$와 무관하기 때문에 영향을 받지 않는다. 그럼에도 불구하고 두 항을 더했을 때 $0$이 돼야하므로 첫째항 전체가 상수라는 결과를 얻는다. 마찬가지로 둘째항 역시 상수이다. $$ \dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{dS}{ds} \right) = C_1 $$

$$ \dfrac{1}{\Phi} \dfrac{ d^2 \Phi} {d \phi ^2} =C_2 $$ $(1)$의 복잡한 편미분 방정식이 간단한 상미분 방정식 2개로 바뀌었다. 이제 각 미분방정식을 풀어 $S(s)$와 $\Phi(\phi)$를 구해 곱하면 우리가 원하는 $V(s,\phi)$를 얻게 된다. $C_1+C_2=0$이므로 두 상수는 크기는 같으며 부호는 반대이다. 이 때 반드시 $C_2$가 음수인 상수이다. 그 이유는 $C_2$가 양수일 때 미분 방정식의 해가 $\Phi(\phi)=Ae^{k\phi}+Be^{-k\phi}$꼴로 나오기 때문이다(풀이 참고 ). 원통좌표계이므로 $\Phi (\phi) = \Phi(\phi+2\pi)$를 만족해야하는데 위 식은 만족하지 않는다. 따라서 $C_1$이 양수인 상수고 $C_2$가 음수인 상수이다. $$ \dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{dS}{ds} \right) =k^2 $$

$$ \dfrac{1}{\Phi} \dfrac{ d^2 \Phi} {d \phi ^2} =-k^2 $$

1.

$$ \dfrac{1}{\Phi} \dfrac{ d^2 \Phi} {d \phi ^2} =-k^2 $$ 위 미분방정식의 해는 $\Phi(\phi)=e^{\pm ik \phi}$로 잘 알려져있다. (참고 ) 따라서 일반해는 $$ \Phi(\phi) = A e^{ik\phi} + Be^{-ik\phi} $$ 오일러 공식$e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta$를 이용하면 아래와 같이 표현할 수 있다. $$ \Phi ( \phi) = A\cos k\phi + B \sin k\phi $$ 이 때 $A$, $B$는 복소수 상수이고 바로 전의 식에서 $A$, $B$와는 다른 상수이니 헷갈리지 말자. 이제 $\Phi(\phi)=\Phi(\phi+2\pi)$를 만족하는지 확인해보자. $$ \begin{align*} \Phi(\phi+2\pi) &= A\cos k(\phi +2\pi) + B \sin k(\phi+2\pi) \\ &= A\cos (k\phi +2k\pi) + B \sin (k\phi+2k\pi) \end{align*} $$ 이 때 $k= 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$이면 $$ \begin{align*} \Phi(\phi) &= A\cos (k\phi) + B \sin (k\phi) \\ &= \Phi( \phi) \end{align*} $$ 따라서 해는 $$ \Phi ( \phi) = A\cos k\phi + B \sin k\phi\quad (k=0,1,2\cdots) $$ 음수일 경우는 양수일 경우와 값이 중복되므로 양수의 경우만 적어주면 된다. 그런데 사실 이 때 $k=0$인 경우는 해에 포함되지 않는다. 왜냐하면 $k=0$인 경우 미분방정식을 풀면 $$ \dfrac{ d^2 \Phi} {d \phi^2 } =0 $$

$$ \implies \dfrac{ d \Phi}{d \phi}=C $$

$$ \implies \Phi=C\phi +D $$ 를 얻는데 이 때의 $\Phi$는 위에서 언급했던 주기성이 없다. 따라서 최종적으로 얻는 해는 $$ \Phi ( \phi) = A\cos k\phi + B \sin k\phi,\ \ (k=1,2\cdots) $$

2.

$$ \dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{dS}{ds} \right) =k^2 $$ 위 미분방정식을 정리하면 $$ s\left( \dfrac{d S}{ds} + s \dfrac{d^2 S}{d s^2} \right) =k^2 S $$

$$ \implies s^2 \dfrac{d^2 S}{d s^2 } + s\dfrac{d S}{ds} -k^2 S=0 $$ 이는 오일러 방정식이며 여기에 나와있는 방식으로 풀 수 있지만 본 글에서는 좀 더 쉽게 풀겠다. 위 미분 방정식의 해가 $s^n$꼴로 나온다는 사실을 이용하여 $S=s^n$을 대입한다. 그러면 $$ s^2(n)(n-1)s^{n-2} +sns^{n-1}-k^2s^n=0 $$

$$ \implies n(n-1)+n-k^2=0 $$

$$ \implies n^2-k^2=0 $$

$$ \therefore n=\pm k $$ 미분 방정식의 두 해는 $s^k$, $s^{-k}$이다. 일반해는 두 해의 선형 결합이고 1 에서의 $k$의 조건까지 덧 붙이면 $$ S(s) = Cs^k+Ds^{-k},\quad k=1,2,\cdots $$ 그런데 여기서 중요한 점은 $S(s)$는 $k=0$일 때의 해가 존재한다는 것이다. $k=0$일 때의 미분 방정식을 풀면 $$ \dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{dS}{ds} \right) =0 $$

$$ \implies \dfrac{ d}{ds} \left( s \dfrac{ dS }{ds} \right) =0 $$

$$ \implies s\dfrac{dS}{ds}=C $$

$$ \implies dS=\dfrac{C}{s} ds $$

$$ \implies S(s)=C\ln s +D $$ 따라서 최종적으로 일반해를 나타내면 $$ S(s)=A_0 \ln s +B_0 +\sum \limits _{k=1} ^\infty ( A_k s^k + B_k s^{-k}) $$

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