변수분리법을 사용한 구좌표계에서의 방위각에 무관한 라플라스 방정식 풀이
how to solve laplace equation with azimuthal symmetry in spherical coordinates using separation of variables
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** ** 0. 전위를 구할 때 경계 조건($\mathrm{boundary\ condition}$)이 구면좌표계로 표현하기 쉬운 경우라면 구좌표계에 대한 라플라스 방정식을 풀어야 한다.여기** 나 여기 를 참고하면 구면 좌표계에서의 라플라스 방정식이 아래와 같음을 알 수 있다. $$ \nabla ^2 V = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{\partial V}{\partial r} \right) +\dfrac{ 1}{r^2 \sin \theta } \dfrac{ \partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ \partial V}{\partial \theta }\right) + \dfrac{1}{r^2 \sin ^2 \theta} \dfrac{ \partial ^2 V}{\partial \phi^2 }=0 $$ 이 때 전위 $V$가 $\phi$와 무관한 함수라고 하자.다시 말해 다른 값은 같고 $\phi$만 변할 때는 $V$의 값이 변하지 않는다는 가정이다.그러면 $\phi$에 대한 $V$의 변화량이 $0$이고 이는$\dfrac{\partial V}{\partial \phi}=0$이므로 세번째 항이 사라진다. $$ \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{ \partial V}{\partial r} \right) +\dfrac{ 1}{r^2 \sin \theta } \dfrac{ \partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ \partial V}{\partial \theta }\right)=0 \ \ \cdots (1) $$ (그리피스 교재에서도 $\phi$에 대한 대칭성이 없는 경우 $V$를 구하는 방법은 대학원 교재에서 다룬다고 언급돼있다.)전위 $V(r, \theta)$가 변수 분리 가능한 함수라고 가정하겠다.$V$가 $r$만의 함수 $R(r)$과 $\theta$만의 함수 $\Theta (\theta) $의 곱으로 이루어져있다고 가정한다는 말이다.$V(r,\theta)=R(r) \Theta (\theta)$를 $(1)$에 대입하고 양 변을 $V$로 나눠주어 정리하면 아래와 같은 꼴이 된다. $$ \dfrac{1}{R} \dfrac{d}{d r} \left( r^2 \dfrac{d R}{d r} \right) +\dfrac{ 1}{ \Theta \sin \theta } \dfrac{ d}{d \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ d \Theta}{d \theta }\right)=0 $$ 각 항이 $r$과 $\theta$에만 의존하기 때문에 두 항이 모두 상수이다.$r$의 값이 바뀌어도 둘째항과 우변의 값은 변하지 않는다.따라서 첫째항의 값도 항상 같아야하고 이는 상수항이라는 말이다.둘째항도 같은 이유로 상수항이다. $$ \dfrac{1}{R} \dfrac{d}{d r} \left( r^2 \dfrac{d R}{d r} \right) =l(l+1) $$
$$ \dfrac{ 1}{\Theta \sin \theta } \dfrac{d}{d \theta} \left( \sin \theta \dfrac{d \Theta }{d \theta }\right) = -l(l+1) $$ $(1)$의 복잡한 편미분 방정식이 간단한 상미분 방정식 2개로 바뀌었다.각각의 미분방정식을 풀어 $R(r)$과 $\Theta (\theta)$를 구해 곱하면 우리가 원하는 $V(r,\theta)$를 얻게 된다.
1. $ \dfrac{d}{dr} \left( r^2 \dfrac{dR}{dr} \right) = l(l+1) R $$ \implies 2r \dfrac{dR}{dr} +r^2 \dfrac{d^2 R}{dr^2} =l(l+1)R $$ \implies r^2 \dfrac{d^2 R}{dr^2} + 2r\dfrac{dR}{dr} - l(l+1)R=0$이는 오일러 방정식 꼴이며 풀이는 여기 에서 확인할 수 있지만 본 글에서는 좀 더 쉽게 풀겠다.위 미분방정식의 해가 $r^k$ 꼴로 나온다는 사실을 사용하여 첫 줄에 $R=r^k$를 대입한다.그러면$\dfrac{ d}{dr} \left( r^2 \dfrac{ d r^k}{dr} \right) = l(l+1)r^k $$ \implies \dfrac{d}{dr} (k r^{k+1} ) = l(l+1) r^k $$ \implies k(k+1)r^k=l(l+1)r^k $$ \therefore k(k+1)=l(l+1) $$ \implies k^2+ k -l(l+1)=0$근의 공식을 쓰면 $k=l$ 혹은 $k=-(l+1)$따라서 $r^l$과 $\dfrac{1}{r^{l+1} }$이 미분방정식의 해이다.일반해는 두 해의 선형결합이므로 $R(r)=Ar^l + \dfrac{B}{r^{l+1} }$, $A,B$는 상수
2.
$$ \dfrac{d}{d\theta} \left( \sin \theta \dfrac{d \Theta }{d \theta} \right) =-l(l+1)\sin \theta \Theta $$ $\theta$에 대한 미분방정식의 풀이는 어렵기 때문에 결과만 소개한다.자세한 풀이를 알고싶다면 여기 를 참고하라.위 미분방정식의 해는 $\cos \theta $에 대한 르장드르 다항식$(\mathrm { Legendre\ polynomial})$이다. $$ \Theta (\theta) = P_l( \cos \theta) $$ 이 때 $P_l(x)$는 로드리게스 공식($\mathrm{ Rodrigues\ formula}$, 로드리그 공식)으로 정의한다.
**로드리게스 공식 $P_l(x) := \dfrac{1}{2^l l!} \left( \dfrac{d}{dx} \right) ^l (x^2-1)^l $$ l$은 양의 정수, $P_0(x)=1$
위 공식에 따라 계산한 르장드르 다항식은 아래와 같다.
**르장드르 다항식 $P_0(x) =1 $$ P_1(x)=x $$ P_2(x) = \dfrac{3x^2-1}{2} $$ P_3(x) = \dfrac{5x^3 -3x}{2} $$ \vdots$
2계 미분방정식이므로 2개의 해를 구해야하는데 각 $l$ 값에 대해 하나의 해만 있다.나머지 두번째 해는 $\theta=0$과 $\theta=\pi$에서 발산하기 때문에 물리적인 의미가 있는 해가 아니다.따라서 드장드르 다항식에 의한 첫번째 해만 고려해주면 된다.
3. 1 과 2 의 결과를 종합하면 전위는 $$ V(r,\theta) =\left( Ar^l ++ \dfrac{B}{r^{l+1}} \right) P_l( \cos \theta) $$ 이 때 각 $l$값 마다 해가 하나씩 있으므로 일반해는 이 들을 모두 합한 것이다. $$ V(r,\theta) = \sum \limits_{l=0} ^\infty \left( A_l r^l + \dfrac{B_l}{r^{l+1} } \right) P_l(\cos \theta) $$