변수분리법을 사용한 구좌표계에서의 방위각에 무관한 라플라스 방정식 풀이

변수분리법을 사용한 구좌표계에서의 방위각에 무관한 라플라스 방정식 풀이

how to solve laplace equation with azimuthal symmetry in spherical coordinates using separation of variables


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구면 좌표계에서 방위각 대칭$(\mathrm{ azimuthal\ symmetry})$이 있을 때의 라플라스 방정식의 일반해는$V(r,\theta) = \sum \limits_{l=0} ^\infty \left( A_l r^l + \dfrac{B_l}{r^{l+1} } \right) P_l(\cos \theta)$

** ** 0. 전위를 구할 때 경계 조건($\mathrm{boundary\ condition}$)이 구면좌표계로 표현하기 쉬운 경우라면 구좌표계에 대한 라플라스 방정식을 풀어야 한다.여기** 나 여기 를 참고하면 구면 좌표계에서의 라플라스 방정식이 아래와 같음을 알 수 있다. $$ \nabla ^2 V = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{\partial V}{\partial r} \right) +\dfrac{ 1}{r^2 \sin \theta } \dfrac{ \partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ \partial V}{\partial \theta }\right) + \dfrac{1}{r^2 \sin ^2 \theta} \dfrac{ \partial ^2 V}{\partial \phi^2 }=0 $$ 이 때 전위 $V$가 $\phi$와 무관한 함수라고 하자.다시 말해 다른 값은 같고 $\phi$만 변할 때는 $V$의 값이 변하지 않는다는 가정이다.그러면 $\phi$에 대한 $V$의 변화량이 $0$이고 이는$\dfrac{\partial V}{\partial \phi}=0$이므로 세번째 항이 사라진다. $$ \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{ \partial V}{\partial r} \right) +\dfrac{ 1}{r^2 \sin \theta } \dfrac{ \partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ \partial V}{\partial \theta }\right)=0 \ \ \cdots (1) $$ (그리피스 교재에서도 $\phi$에 대한 대칭성이 없는 경우 $V$를 구하는 방법은 대학원 교재에서 다룬다고 언급돼있다.)전위 $V(r, \theta)$가 변수 분리 가능한 함수라고 가정하겠다.$V$가 $r$만의 함수 $R(r)$과 $\theta$만의 함수 $\Theta (\theta) $의 곱으로 이루어져있다고 가정한다는 말이다.$V(r,\theta)=R(r) \Theta (\theta)$를 $(1)$에 대입하고 양 변을 $V$로 나눠주어 정리하면 아래와 같은 꼴이 된다. $$ \dfrac{1}{R} \dfrac{d}{d r} \left( r^2 \dfrac{d R}{d r} \right) +\dfrac{ 1}{ \Theta \sin \theta } \dfrac{ d}{d \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ d \Theta}{d \theta }\right)=0 $$ 각 항이 $r$과 $\theta$에만 의존하기 때문에 두 항이 모두 상수이다.$r$의 값이 바뀌어도 둘째항과 우변의 값은 변하지 않는다.따라서 첫째항의 값도 항상 같아야하고 이는 상수항이라는 말이다.둘째항도 같은 이유로 상수항이다. $$ \dfrac{1}{R} \dfrac{d}{d r} \left( r^2 \dfrac{d R}{d r} \right) =l(l+1) $$

$$ \dfrac{ 1}{\Theta \sin \theta } \dfrac{d}{d \theta} \left( \sin \theta \dfrac{d \Theta }{d \theta }\right) = -l(l+1) $$ $(1)$의 복잡한 편미분 방정식이 간단한 상미분 방정식 2개로 바뀌었다.각각의 미분방정식을 풀어 $R(r)$과 $\Theta (\theta)$를 구해 곱하면 우리가 원하는 $V(r,\theta)$를 얻게 된다.

1. $ \dfrac{d}{dr} \left( r^2 \dfrac{dR}{dr} \right) = l(l+1) R $$ \implies 2r \dfrac{dR}{dr} +r^2 \dfrac{d^2 R}{dr^2} =l(l+1)R $$ \implies r^2 \dfrac{d^2 R}{dr^2} + 2r\dfrac{dR}{dr} - l(l+1)R=0$이는 오일러 방정식 꼴이며 풀이는 여기 에서 확인할 수 있지만 본 글에서는 좀 더 쉽게 풀겠다.위 미분방정식의 해가 $r^k$ 꼴로 나온다는 사실을 사용하여 첫 줄에 $R=r^k$를 대입한다.그러면$\dfrac{ d}{dr} \left( r^2 \dfrac{ d r^k}{dr} \right) = l(l+1)r^k $$ \implies \dfrac{d}{dr} (k r^{k+1} ) = l(l+1) r^k $$ \implies k(k+1)r^k=l(l+1)r^k $$ \therefore k(k+1)=l(l+1) $$ \implies k^2+ k -l(l+1)=0$근의 공식을 쓰면 $k=l$ 혹은 $k=-(l+1)$따라서 $r^l$과 $\dfrac{1}{r^{l+1} }$이 미분방정식의 해이다.일반해는 두 해의 선형결합이므로 $R(r)=Ar^l + \dfrac{B}{r^{l+1} }$, $A,B$는 상수

2.

$$ \dfrac{d}{d\theta} \left( \sin \theta \dfrac{d \Theta }{d \theta} \right) =-l(l+1)\sin \theta \Theta $$ $\theta$에 대한 미분방정식의 풀이는 어렵기 때문에 결과만 소개한다.자세한 풀이를 알고싶다면 여기 를 참고하라.위 미분방정식의 해는 $\cos \theta $에 대한 르장드르 다항식$(\mathrm { Legendre\ polynomial})$이다. $$ \Theta (\theta) = P_l( \cos \theta) $$ 이 때 $P_l(x)$는 로드리게스 공식($\mathrm{ Rodrigues\ formula}$, 로드리그 공식)으로 정의한다.

**로드리게스 공식 $P_l(x) := \dfrac{1}{2^l l!} \left( \dfrac{d}{dx} \right) ^l (x^2-1)^l $$ l$은 양의 정수, $P_0(x)=1$

위 공식에 따라 계산한 르장드르 다항식은 아래와 같다.

**르장드르 다항식 $P_0(x) =1 $$ P_1(x)=x $$ P_2(x) = \dfrac{3x^2-1}{2} $$ P_3(x) = \dfrac{5x^3 -3x}{2} $$ \vdots$

2계 미분방정식이므로 2개의 해를 구해야하는데 각 $l$ 값에 대해 하나의 해만 있다.나머지 두번째 해는 $\theta=0$과 $\theta=\pi$에서 발산하기 때문에 물리적인 의미가 있는 해가 아니다.따라서 드장드르 다항식에 의한 첫번째 해만 고려해주면 된다.

3. 12 의 결과를 종합하면 전위는 $$ V(r,\theta) =\left( Ar^l ++ \dfrac{B}{r^{l+1}} \right) P_l( \cos \theta) $$ 이 때 각 $l$값 마다 해가 하나씩 있으므로 일반해는 이 들을 모두 합한 것이다. $$ V(r,\theta) = \sum \limits_{l=0} ^\infty \left( A_l r^l + \dfrac{B_l}{r^{l+1} } \right) P_l(\cos \theta) $$

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