푸리에 변환을 이용한 미분 방정식의 풀이

푸리에 변환을 이용한 미분 방정식의 풀이

설명

푸리에 급수푸리에 변환열 방정식을 풀기 위해 등장한 개념이다. 물론 열 방정식 뿐만 아니라 조건을 만족한다면 다른 미분 방정식을 풀 때도 사용할 수 있다. 특히 푸리에 급수는 양자 물리학에서 입자의 에너지를 슈뢰딩거 방정식을 통해서 계산할 때 사용된다. 많은 물리학과 학생들은 그것이 푸리에 급수라는 것인지는 모르고 사용하긴 하지만 말해주면 뭔지는 안다.주어진 미분 방정식의 조건에 따라서 푸리에 변환과 푸리에 급수 둘 중에 어느 것을 사용해야하는지가 정해진다. 문제에서 주어진 범위가 유한할 때는 푸리에 급수를, 문제에서 주어진 범위가 무한할 때는 푸리에 변환을 사용한다.

풀이

다음과 같은 열 방정식이 주어졌다고 하자

$$ u_{t}=k u_{xx} (-\infty < x< \infty) $$

$$ u(x,0)=f(x) ( -\infty < x< \infty)
$$

양수인 시간 $t$에 대해서 경계조건이 없다. $u$와 $f$가 급격히 감소하여 $x \rightarrow \pm \infty$일 때 $0$으로 수렴한다고, 즉 $L^1$ 함수 라고 가정하자. 그러면 푸리에 변환이 존재한다. $x$에 대한 푸리에 변환을 주어진 미분 방정식에 적용하면

$$ \mathcal{F} [u_{t}] (\xi,\ t) = k \mathcal{F}[u_{xx}] (\xi,\ t) $$

푸리에 변환의 성질 $\hat{[f^{\prime}]}=i\xi \hat{f}$을 우변에 적용하면

$$ \mathcal{F} [u_{t}] (\xi,\ t) = -k\xi^{2} \hat{u}(\xi,\ t) $$

이때 좌변을 풀어서 적으면 $\int u_{t}e^{-i\xi x}dx$인데 조건이 좋아서 적분과 미분의 순서를 바꿀 수 있다고 가정하자. 보통의 경우 마음대로 미분과 적분 순서를 바꾸는 것이 불가능하지만 이런 유형의 문제를 풀 때는 거의 다 성립하므로 크게 신경쓰지 않아도 괜찮다. 그러면 $u$의 미분의 푸리에 변환이 $u$의 푸리에 변환의 미분과 같다. 따라서 주어진 미분 방정식은 아래와 같은 간단한 상미분 방정식이 된다.

$$ \dfrac{\partial \hat{u}}{\partial t}(\xi,\ t) = -k\xi^{2} \hat{u}(\xi,\ t) $$

고정된 $\xi$에 대해서 위의 미분 방정식을 풀면

$$ \hat{u}(\xi,\ t) = \hat{f} (\xi) e^{-k\xi^{2}t} $$

양변에 푸리에 역변환 을 취하면

$$ \begin{equation} u(x,\ t) =\dfrac{1}{2\pi}\int \hat{f}(\xi) e^{-k\xi^{2} t}e^{i\xi x} d\xi \label{eq1} \end{equation} $$

이를 $u$에 대한 푸리에 적분 공식Fourier integral formula이라 부른다. 위 식을 푸리에 변환과 합성곱의 성질을 이용하여 간단하게 나타낼 것이다. 푸리에 변환의 성질 $(d)$ $\mathcal{F} [f \ast g]=\hat{f}\hat{g}$의 양변에 역변환을 취해주면

$$ f \ast g=\mathcal{F}^{-1}[\hat{f} \hat{g}] $$

$\eqref{eq1}$의 $e^{-k\xi ^{2}t}$를 어떤 함수의 푸리에 변환이라고 두면 위의 식을 이용할 수 있다. 구체적으로 $\mathcal{F}[K_{t}] (\xi)=e^{-k\xi^{2} t}$라고 하자. 그러면 식 $\eqref{eq1}$은

$$ \begin{align*} u(x,\ t) &= \dfrac{1}{2\pi} \int \hat{f}(\xi) \hat{K_{t}}(\xi) e^{i\xi x} d\xi \\ &= \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}\hat{K_{t}}] (x) \\ &= f \ast K_{t}(x) \end{align*} $$

이제 $K_{t}$를 구할 차례이다. 처음 정의했던 식의 양 변에 역변환을 취하면

$$ \begin{align*} K_{t}(x)= \mathcal{F}^{-1} \mathcal{F}[K_{t}] (x) &= \mathcal{F}^{-1} \left[ e^{-k\xi ^{2} t} \right] \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int e^{-k\xi^{2} t}e^{i\xi x} d\xi \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int e^{-k\xi^{2} t}e^{-i\xi (-x)}d\xi \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \mathcal{F} \left[e^{-k\xi^{2}t} \right] (-x) \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{4\pi kt}}e^{-x^{2}/4kt}dx \end{align*} $$

마지막 수식은 가우스 함수의 푸리에 변환 공식 으로 간단히 얻을 수 있다. 따라서 이를 $u$에 대입하면

$$ \begin{align*} u(x,\ t) &= f \ast K_{t}(x) \\ &= \int f(y) K_{t}(x-y) dy \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{4 \pi kt}} \int f(y) e^{-(x-y)^{2}/4kt}dy \end{align*} $$

처음 주어진 미분 방정식의 조건에 $u(x,\ 0)=f(x)$가 있었으므로 $\lim \limits_{ t\rightarrow 0} u(x,\ t)=\lim \limits_{ t\rightarrow 0} f \ast K_{t}(x)=f(x)$라면 $f$가 적절하고 위 문제에 잘 들어맞는 해라고 할 수 있다. 물론 실제로 성립하고 증명할 수 있다.

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