일변량 확률 변수 샘플링하는 법

일변량 확률 변수 샘플링하는 법

How to Sample Random Variable

개요

확률변수의 구체적인 실현을 구하는 방법이다.

정리

일변량 확률변수 $T$ 의 누적분포함수 $F = F_{T}$ 가 주어져 있다고 하자. 그러면 일양분포를 따르는 확률 변수 $U \sim U \left( 0,1 \right)$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ T = F^{-1} \left( U \right) $$

설명

누적분포함수의 치역은 항상 $[0,1]$ 이라는 점을 생각해보면 당연하면서도 영리한 방법이다. 뭐가 됐든 $0$ 부터 $1$ 사이의 값 하나만 구하면 반드시 $F$ 의 치역에 떨어질테고, 그에 대응되는 원상을 찾으면 $T$ 가 어떤 분포든 샘플링을 할 수 있기 때문이다. 사실 엄밀하게 따지고 들면 어떤 분포든 가능한 건 아니지만, 이러나 저러나 $U$ 가 떨어지는 점을 거꾸로 찾는다는 아이디어는 어떤 분포든 유효하다.

증명

$P \left( F^{-1} (U) \le t \right) = F(t)$ 를 보이면 된다. $F$ 는 증가 함수기 때문에 역함수 $F^{-1}$ 가 존재하고, 모든 $t \in \mathbb{R}$ 에 대해 $$ \begin{align*} & P \left( F^{-1} (U) \le t \right) \\ =& P \left( F \left( F^{-1} (U) \right) \le F (t) \right) \\ =& P \left( U \le F (t) \right) \\ =& F(t) \end{align*} $$ 다. 마지막 등호는 $U$ 가 일양분포를 따르기 때문에 성립한다.

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