포물선 운동의 수평도달거리와 최대 높이 각도

포물선 운동의 수평도달거리와 최대 높이 각도

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포물선 운동

포물선 운동에 대해서 우리는 아래와 같은 두가지 물음에 대해서 생각할 수 있다.

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$x$성분은 중력가속도와 무관하고, $y$성분은 중력가속도에 영향을 받는다

$$ \begin{align*} x &= (v_o\cos\alpha)t && & y &= -\frac{1}{2}gt^2+(v_0\sin\alpha)t \\ v_{x} &= v_0\cos\alpha && & v_{y} &= -gt+v_0\sin\alpha \\ a_{x} &= 0 && & a_{y} &= -g \\ F_{x} &= 0 && & F_{y} &= -mg \end{align*} $$

위에서 $x$와 $y$에 관해서 정리한 두 식을 가져오자. 두 식에는 공통으로 시간 $t$가 들어가있다. 우리가 궁금한 질문에는 시간에 관련된 내용이 없다. 즉, 한 식을 $t$에 대해서 정리하여 다른 식에 대입하면 위에서 했던 질문에 대한 답을 구할 수 있을 것이다.

$$ \begin{align} x &= (v_0\cos\alpha)t \label{eq1} \\ y &= -\frac{1}{2}gt^2+(v_0\sin\alpha)t \label{eq2} \end{align} $$

두 식에 공통으로 포함된 $t$에 대해서 정리하면 $x,\ y,\ \alpha$만으로 이루어진 식을 구할 수 있다. 즉, 포물선 운동의 수평거리, 수직거리, 각도에 대한 정보를 알 수 있다. $\eqref{eq1}$을 $t$에 대해서 정리하면 $t=\dfrac{x}{v_0\cos\alpha}$이고 $\eqref{eq2}$에 대입하면 정리하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} y &= -\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_0\cos\alpha}\right)^2+(v_0\sin\alpha)\left(\frac{x}{v_0\cos\alpha}\right) \\ &= -\frac{g}{2{v_0}^2\cos^2\alpha}x^2+\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)x \\ &= -\frac{g}{2{v_0}^2\cos^2\alpha}\left(x^2-\frac{2{v_0}^2\sin\alpha \cos\alpha}{g}x\right) \\ &= -\frac{g}{2{v_0}^2\cos^2\alpha}\left(x^2-\frac{2{v_0}^2\sin\alpha \cos\alpha}{g}x+\frac{{v_0}^4\sin^2\alpha \cos^2\alpha}{g^2}\right) +\frac{{v_0}^2\sin^2\alpha}{2g} \\ &= -\frac{g}{2{v_0}^2\cos ^2\alpha}\left(x-\frac{{v_0}^2\sin\alpha \cos\alpha}{g}\right)^2 +\frac{{v_0}^2\sin^2\alpha}{2g} \end{align*} $$

식이 길고 좀 헷갈릴 수 있지만 어렵지 않으니 천천히 따라가보길 바란다. 복잡해보여도 2차 방정식이다. 위에서 구한 2차 방정식의 그래프를 그려보면 아래와 같다.59043BFF3.jpg

최대 거리

초기속도 $v_0$와 중력가속도 g는 변하지 않으므로 $\sin\alpha \cos\alpha$가 가장 클 때 $x$의 값이 최대이다. $\sin\alpha \cos\alpha=\frac{1}{2}\sin2\alpha$이므로 $\sin2\alpha$가 최대가 되려면 $\alpha=45^\circ=\dfrac{\pi}{4}$. 따라서 물체를 $45^\circ$의 각도로 던질 때 (공기의 저항이 없다고 가정하면)가장 멀리 날라간다. 그 값은 다음과 같다.

$$ x=\frac{{v_0}^2}{g} $$

최대 높이

$y = \dfrac{{v_0}^2\sin^2\alpha}{2g}$이고 $v_0$와 $g$는 변하지 않으므로 $\sin^2\alpha$가 최대일 때 $y$의 값이 최대이다. $\sin^2\alpha$는 $\alpha=90^\circ$일 때 최대값을 가진다. $(\sin^2\alpha=1)$. 따라서 물체를 지면에 대해서 수직으로 던질 때(연직방향, $90^\circ$) 가장 높이 올라간다. 그 값은

$$ y=\frac{{v_0}^2}{2g} $$

결론

$45^\circ$로 던질 때 수평거리가 최대이고, $90^\circ$로 던질 때 수직거리가 최대이다. 또한 그 값은 초기속도$v_0$에 의해서만 결정되고, 초기속도의 제곱 ${v_0}^2$에 비례한다.

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