위상공간에서 위상동형이란

위상공간에서 위상동형이란

Homeomorphic in Topology

정의 1

위상공간 $X,Y$ 에 대해 전단사 $f : X \to Y$ 가 존재해서 $f$ 와 그 역함수 $f^{-1}$ 모두 연속함수면 $f$ 를 위상동형사상Homeomorphism라 부르고 두 위상공간위상동형Homeomorphic이라 한다.

정리

다음 명제들은 서로 동치다.

  • (1): $f : X \to Y$ 가 위상동형사상이다.
  • (2): $f^{-1} : Y \to X$ 가 위상동형사상이다.
  • (3): $f : X \to Y$ 가 닫힌 함수면서 연속인 전단사다.
  • (4): $f : X \to Y$ 가 열린 함수면서 연속인 전단사다.

설명

거리공간에서 정의했던 것과 마찬가지로 위상동형의 개념도 간단하게 확장될 수 있다. 연속함수를 공부하는 이유 그 자체로 보아도 무방하다.

(3)과 (4)가, 특히 (4)가 좋은 이유는 역함수에 대한 체크가 필요 없기 때문이다. 열린 함수와 닫힌 함수의 성질에서 쉽게 연역되어서 역함수가 연속이어야한다는 조건을 대신 만족시켜준다.

특히 $f,f^{-1}$ 가 미분가능하면 미분동형사상Diffeomorphism, 디피오멀피즘이라 부른다.

같이보기


  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p105. ↩︎

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