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추상대수에서의 미분환

Differential Ring in Abstract Algebra

정의

미분환 ¹

$R$ 이 (아벨리안) 링이라 하자. 다음을 만족하는 함수 $d: R \to R$ 을 (대수적) 미분^{Algebraic Derivation}이라 한다. $$ \begin{align*} d \left( x + y \right) =& d (x) + d(y) \\ d \left( x y \right) =& d (x) y + x d(y) \end{align*} $$ 순서쌍 $\left( R, d \right)$ 를 미분환^{Differential Ring}이라 한다.

상수환 ²

$R$ 이 유니티 $1$ 를 가진다고 하자. 덧셈에 대한 항등원 $0 \in R$ 에 대해 $d (c) = 0$ 를 만족하는 $c \in R$ 의 집합은 $1$ 포함한 $R$ 의 서브 링이며, 상수들의 링이라는 의미에서 상수환^{Constant Ring}이라 부른다.

설명

미분 대수^{Differential Algebra}는 링에 우리가 알던 미분이라는 함수를 주었을 때도 여전히 그 성질들이 추상화되는지, 그 조건은 무엇인지에 관심을 가진다. 당연히 가장 쉬우면서 우리에게 친숙한 예시는 실수 $\mathbb{R}$ 다항함수의 환 $\mathbb{R} [x]$ 일 것이고, 이 때의 미분 $d$ 가 $$ d : x^{n} \mapsto n x^{n-1} $$ 와 같이 형식적으로 정의되면 $\left( \mathbb{R}[x] , d \right)$ 는 문과도 고등학교에서 배운 적 있는 미분환이 된다. 이 미분환의 상수환은 $\mathbb{R}$ 이다.

정의에서 특히 $d \left( x y \right) = d (x) y + x d(y)$ 는 이러한 추상화에서 ‘미분’을 미분답게 만들어주는 중요한 조건으로써, 미적분의 고안한 라이프니츠의 이름을 따서 라이프니츠 곱^{Leibniz Product}이라 불리기도 한다.

정리

상수 미분

• [1]: $R$ 의 덧셈에 대한 항등원 $0$ 과 상수환의 원소 $c$ 와 $r \in R$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} d \left( 0 \right) =& 0 \\ d \left( 1 \right) =& d (c) = 0 \\ d \left( c r \right) =& c d \left( r \right) \end{align*} $$

고차항 미분

• [2] $n \in \mathbb{N}$ 과 $r \in R$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ d \left( r^{n} \right) = n r^{n-1} d (r) $$

몫 미분

• [3] $R$ 의 유닛 $u$ 과 $r \in R$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ d \left( r u^{-1} \right) = \left[ d (r) u - r d (u) \right] u^{-2} $$

증명

[1]

$d \left( 0 \right) = 0$ 는 다음과 같이 얻는다. $$ \begin{align*} & d (0) = d \left( 0 + 0 \right) = d \left( 0 \right) + d \left( 0 \right) \\ \implies & d (0) = d (0) + d (0) \\ \implies & 0 = d (0) \end{align*} $$

$d \left( 1 \right) = 0$ 는 다음과 같이 얻는다. $$ \begin{align*} d (1) =& d \left( 1 \cdot 1 \right) \\ =& d \left( 1 \right) 1 + 1 d \left( 1 \right) \\ =& d \left( 1 \right) + d \left( 1 \right) \\ \implies d(1) = & 0 \end{align*} $$ 한편 상수 $c$ 는 정의에 따라 $d(c) = 0$ 이므로 $d(1) = d(c)$ 다.

$d \left( c r \right) = c d (r)$ 는 다음과 같이 얻는다. $$ \begin{align*} d (cr) =& d \left( c \cdot r \right) \\ =& d \left( c \right) r + c d \left( r \right) \\ =& 0 + c d \left( r \right) \end{align*} $$

■

[2]

수학적귀납법으로 증명한다. $n = 1$ 일 때 $$ d (r) = d ( r \cdot 1 ) = d(r) 1 + r d(1) = d(r) = 1 \cdot r^{1-1} d(r) $$ 이고, 주어진 정리가 성립한다면 $$ \begin{align*} d \left( r^{k} \right) =& d \left( r \cdot r^{k-1} \right) \\ =& d \left( r \right) r^{k-1} + r d \left( r^{k-1} \right) \\ =& d \left( r \right) r^{k-1} + r (k-1) r^{k-2} d \left( r \right) \\ =& d \left( r \right) r^{k-1} + (k-1) r^{k-1} d \left( r \right) \\ =& k r^{k-1} d \left( r \right) \end{align*} $$ 이므로 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 주어진 정리가 성립한다.

■

[3]

$u$ 가 유닛이라는 것은 그 곱셈에 대한 역원 $u^{-1} \in R$ 가 존재한다는 것이다. $1 = u u^{-1}$ 이라 두면 $$ \begin{align*} d \left( 1 \right) =& d \left( u u^{-1} \right) \\ =& d \left( u \right) u^{-1} + u d \left( u^{-1} \right) \\ \implies 0 =& d \left( u \right) u^{-1} + u d \left( u^{-1} \right) \\ \implies u d \left( u^{-1} \right) =& d \left( u \right) u^{-1} \\ \implies d \left( u^{-1} \right) =& d \left( u \right) u^{-2} \end{align*} $$ 이므로 $d \left( u^{-1} \right) = d \left( u \right) u^{-2}$ 이고, 다음을 얻는다. $$ \begin{align*} d \left( r u^{-1} \right) =& d \left( r \right) u^{-1} + r d \left( u^{-1} \right) \\ =& d \left( r \right) u u^{-1} u^{-1} + r d \left( u \right) u^{-2} \\ =& \left[ d (r) u - r d (u) \right] u^{-2} \end{align*} $$

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추상대수에서의 미분체

Differential Field in Abstract Algebra

정의 ¹

$R$ 이 (아벨리안) 링이라 하자. 다음을 만족하는 함수 $d: R \to R$ 을 미분^Derivation이라 하고, $$ \begin{align*} d \left( x + y \right) =& d (x) + d(y) \\ d \left( x y \right) =& d (x) y + x d(y) \end{align*} $$ 순서쌍 $\left( R, d \right)$ 를 미분환^{Differential Ring}이라 한다. $R$ 이 유니티 $1$ 를 가진다고 하자. 덧셈에 대한 항등원 $0 \in R$ 에 대해 $d (c) = 0$ 를 만족하는 $c \in R$ 의 집합은 $1$ 포함한 $R$ 의 서브 링이며, 상수들의 링이라는 의미에서 상수환^{Constant Ring}이라 부른다.

[미분환][../] $\left( F, \partial \right)$ 의 $F$ 가 필드면 미분체^{Differential Field}라 부르고, 그 상수환을 상수체^{Field of Constant}라 부른다.

설명

모든 필드는 링이므로 당연히 이러한 정의가 나올 수 밖에 없고, 실제로도 미분환 $\left( R , d \right)$ 이 인티그럴 도메인이기만 해도 그에 대응되는 분수체는 미분체가 된다. 사실 그보다 더 조건을 완화해서 분수환에 대해서도 일반화한 정리는 있지만, ² 굳이 그러지 말고 인티그럴 도메인인 경우에 대해서만 간단히 알아보자.

정리

$A$ 가 인티그럴 도메인이라고 하자. $$ (a,s) \equiv (b,t) \iff at = bs $$ $A$ 와 $S$ 의 카티션 프로덕트 $A \times S$ 에서의 동치관계 $\equiv$ 를 위와 같이 정의할 때, $(a,s)$ 의 동치류를 $a/s$ 라 나타내고, 그 동치류들의 집합을 $S^{-1} A := A \times S / \equiv$ 과 같이 나타내자. 새로운 두 연산 $\oplus$, $\odot$ 을 $$ \begin{align*} {{ a } \over { s }} \oplus {{ b } \over { t }} :=& {{ at + bs } \over { st }} \\ {{ a } \over { s }} \odot {{ b } \over { t }} :=& {{ ab } \over { st }} \end{align*} $$ 과 같이 정의할 때, 필드 $\left( S^{-1} A , \oplus , \odot \right)$ 을 $A$ 의 분수체^{Field of Fractions}라 정의한다.

미분환 $\left( R, d \right)$ 가 인티그럴 도메인이라고 하자. 그러면 $R$ 의 분수체 $F$ 에 대해 $\left( F, \partial \right)$ 가 미분체가 되게끔 하는 $d$ 의 확장함수 $\partial$ 가 존재한다.

증명

대수적 미분 공식:

• [1]: $R$ 의 덧셈에 대한 항등원 $0$ 과 상수환의 원소 $c$ 와 $r \in R$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} d \left( 0 \right) =& 0 \\ d \left( 1 \right) =& d (c) = 0 \\ d \left( c r \right) =& c d \left( r \right) \end{align*} $$
• [3] $R$ 의 유닛 $u$ 과 $r \in R$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ d \left( r u^{-1} \right) = \left[ d (r) u - r d (u) \right] u^{-2} $$

$R$ 이 인티그럴 도메인이라고 가정했으므로 분수체 $F$ 는 구체적으로 정해졌고, $d : R \to R$ 를 $\partial : F \to F$ 로 확장해도 $\left( F, \partial \right)$ 가 미분체의 조건을 만족시키는 것을 보이면 충분하다. 우선 모든 $r \in R$ 에서는 $$ d \left( r \right) = \partial \left( r \right) $$ 이라고 하자. $b \in R$ 을 아무거나 하나 잡았을 때, $b = 0$ 이라면 임의의 $a \in R$ 에 대해 $$ d \left( a + b \right) = d \left( a + 0 \right) = d (a) + d(0) = d(a) + d(b) $$ 이면서 $$ d \left( a b \right) = d \left( 0 \right) = 0 = d (a) 0 + a 0 = d (a) b + a d(b) $$ 를 만족한다. $b$ 가 $R$ 의 덧셈에 대한 항등원 $0$ 이 아니라면, 분수체 $F$ 에서는 $b$ 가 유닛이므로 곱셈에 대한 역원 $b^{-1} = 1/b$ 가 존재한다. 원래 $d$ 의 정의역은 $R$ 이므로 $d \left( b^{-1} \right)$ 는 정의되지 않았을 수도 있어서 이 정의역을 $F$ 로 적절히 확장해주어야한다. 그 미분은 $R$ 이 인티그럴 도메인이라는 가정 하에서 존재성이 보장된 유니티 $1 \in R$ 의 미분 $d(1) = 0 = \partial (1)$ 을 통해 $$ 0 = \partial (1) = \partial \left( b b^{-1} \right) = \partial (b) b^{-1} + b \partial \left( b^{-1} \right) \\ \implies \partial \left( b^{-1} \right) = \partial \left( {{ 1 } \over { b }} \right) = - {{ \partial(b) } \over { b^{2} }} $$ 와 같이 정의할 수 있다. 여기서 $F$ 의 연산은 분수체의 연산 $\oplus$, $\odot$ 을 사용하고 있지만 가독성을 위해 $+$, $\cdot$ 으로 계속 적고 있음에 주의하자. 이 확장에 따르면 $$ \begin{align*} \partial \left( a \cdot b^{-1} \right) =& {{ \partial(a) b - a \partial (b) } \over { b^{2} }} \\ =& \partial(a) {{ b } \over { b^{2} }} + a \cdot \left( - {{ \partial(b) } \over { b^{2} }} \right) \\ =& \partial(a) b^{-1} + a \partial \left( b^{-1} \right) \end{align*} $$ 이고 $$ \begin{align*} \partial \left( a + b^{-1} \right) = & \partial \left( {{ ab + 1 } \over { b }} \right) \\ =& \partial \left( ab + 1 \right) b^{-1} + \left[ ab + 1 \right] \partial \left( b^{-1} \right) \\ =& \partial \left( ab \right) b^{-1} - \left[ ab + 1 \right] {{ \partial(b) } \over { b^{2} }} \\ =& \left[ \partial (a) b + a \partial(b) \right] b^{-1} - \left[ ab^{-1} + b^{-2} \right] \partial(b) \\ =& \partial (a) + a \partial(b) b^{-1} - ab^{-1} \partial(b) + b^{-2} \partial(b) \\ =& \partial (a) + \partial \left( b^{-1} \right) \end{align*} $$ 이다. 즉, $R$ 에서 정의된 $d$ 는 $F$ 로 자연스럽게 확장되었다.

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상미분환과 편미분환

Ordinary and Partial Differential Ring

정의 ¹

링 $R$ 에서 정의되는 [대수적 미분][../] $\Delta = \left\{ \partial_{1} , \cdots , \partial_{n} \right\}$ 들이 모든 $i,j = 1, \cdots, n$ 에 대해 $$ \partial_{i} \left( \partial_{j} (r) \right) = \partial_{j} \left( \partial_{i} (r) \right) \qquad \forall r \in R $$ 를 만족하면 순서쌍 $\left( R , \Delta \right)$ 를 편미분환^{Partial Derivative Ring}이라 한다. 특히 $\Delta$ 가 홑원소 집합^{Singletone set}이라면, 즉 $\Delta = \left\{ d \right\}$ 라면 $\left( R , \Delta \right) = \left( R , d \right)$ 를 상미분환^{Ordinary Derivative Ring}이라 한다.

설명

미분방정식이 크게는 상미분방정식과 편미분방정식으로 나뉘는 것을 보았으니, 대수적 미분을 연구하려던 사람들은 자연스럽게 처음부터 상미분과 편미분을 구분했을 것이다. 해석학에서의 미분과 특히 구분되는 것은 $\partial_{i} \partial_{j} = \partial_{j} \partial_{i}$ 와 같이 커뮤팅^Commuting하는 것 자체가 조건으로 주어져 있다는 것이다. 보통은 연속성과 관련되는 성질이지만 대수에서는 아예 정의로써 못박은 점이 특이하다.

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Box Plot

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하이퍼 파라메터

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그리드 서치, 브루트 포스, 노가다

Grid Search, Brute Force, and Nogada

용어

그리드 서치

주로 최적화 문제에서, 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n}$ 을 격자^Grid로 나누고 가능한 많은 점에 대해 시도를 반복해 최적해를 찾는 방식을 그리드 서치^{Grid Search}라 부른다.

브루트 포스

주로 암호 문제에서, 아무 조합으로 모든 경우의 수를 무차별 대입해서 암호를 푸는 방식을 브루트 포스^{Brute Force}라 부른다.

노가다

풀기 곤란하거나 풀기 싫은 문제를 풀기 위해, 별다른 전략 없이 가능한 시도를 반복하는 방식을 노가다라 부른다.

설명

세 단어들의 설명을 보면 특히 많이 쓰이는 맥락은 다를 수 있어도 어쨌거나 막 한다는 공통점이 있다. 격식 있는 자리에서야 노가다라는 표현을 삼가는게 좋겠지만, 사실 한국어가 모국어라면 그 어떤 단어보다 전달력이 뛰어나기도 하다.

그리디 알고리즘과 그리드 서치가 헷갈릴 수 있는데, 단어들의 의미로 따져보면 그리디 알고리즘으로 얻는 해가 그리드 서치로 얻어지는 해들의 일부일 가능성이 높다. 실제로 그리디 알고리즘이 ‘안 좋은 알고리즘’을 대신하는 말인 것처럼, 어떤 상황에서 노가다를 한다는 것은 ‘딱히 신통한 수가 없거나 굳이굳이 자동화를 할 수는 있어도 그냥 손으로 몇 번 고생하는 게 더 나은 상황’인 경우가 많다.

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대학원생 하강법

Graduate Descent Method

용어

코끼리를 냉장고에 넣는 법

코끼리를 냉장고에 넣는 법

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동역학에서의 바이퍼케이션 Bifurcation in Dynamics

정의 ^{1 2}

동역학계에서 파라메터들의 변화 하에서 페이즈 포트레이트의 위상적 불일치^{Topological Nonequivalent}가 나타나는 것을 바이퍼케이션^Bifurcation이라 한다. 파라메터 공간^{Parameter Space}에서 시스템의 위상적 타입이 변하는 점, 즉 바이퍼케이션이 일어나는 점을 바이퍼케이션 포인트^{Bifurcation Point}라 한다.

로컬과 글로벌 ³

고정점의 작은 근방에서 발견되는 바이퍼케이션은 로컬^Local하다고 말하고, 꼭 고정점이 아니더라도 푸앙카레 맵의 로컬 바이퍼케이션에 대응되는 리미트 사이클의 바이퍼케이션도 사이클의 로컬 바이퍼케이션^{Local Bifurcation of Cycles}이라고 한다. 이렇게 작은 근방에서 볼 수 없는 바이퍼케이션을 글로벌^Global하다고 말한다.

설명

보통 바이퍼케이션이라는 개념은 이해하는 게 아니라 받아들이게 되는데, 아무래도 직관적으로 무슨 말인지는 알기 쉽지만 그것을 수학적인 스테이트먼트로 나타내는 것은 쉽지 않기 때문이다. 위에서 소개한 정의는 비교적 수학스럽긴 하나, 위상적 불일치가 ‘나타나는’ 것이라는 설명에서 ‘나타난다’는 표현은 여전히 자연어에 기대고 있다.

비선형 동역학의 관심사는 보통 시스템에 대한 분석이고, 시간의 흐름에 따라서 미래가 어떻게 될지 예측할 수 있는지가 자연스러운 질문이 된다. 그 시스템이 현실을 잘 반영하고 있다면 동역학적인 분석만으로도 실용적인 쓰임새가 생기는 것이다. 한편 주어진 시스템의 트래젝터리^Trajectory를 보고 스테이트^State가 어떻게 변하는지가 궁금했던 것이라면, 바이퍼케이션을 본다는 것은 시스템 자체가 어떻게 변하는지에 관심을 두는 것이다. 적어도 한 차원 높은 곳에서 시스템의 집합을 다루는 것이고, 다이내믹스의 세계에선 너무나 당연하게 알고 있어야하는 지식들이다.

직관적인 예시

수학적으로 엄청 와닿는 예시는 아니겠지만 바이퍼케이션이라는 게 어떻게 관심을 받을 수 있는지 예시를 통해 이해해보자.

위의 그림은 아래로 중력이 작용하고 x축과 z축 뿐인 2차원 공간에서 기둥 위에 추를 얹어놓은 것을 묘사하고 있다. 추의 무게가 가벼우면야 기둥은 아무 문제 없이 잘 버티겠지만, 감당하기 어려울 정도로 추가 무거워지면 기둥이 휘어지게 된다고 하자. 그림에서 빨간색 표식은 왼쪽으로 조금 움직였지만, 사실은 오른쪽으로 휘어도 전혀 상관 없고 도식으로 그리면 다음과 같다.

이 도식에서는 무게가 가벼울 때 표식의 위치가 올곧게 유지되지만, 파란색 선을 넘길 정도로 추가 무거워지면 좌측 혹은 우측으로 휘는 것을 표현하고 있다. 이론적으로 완벽하게 어느 한 쪽으로도 치우치지 않았다면 휘지 않을 수도 있겠지만, 아주 약간의… $\varepsilon \approx 0$ 만큼의 차이라도 생기면 중심에서 이탈할 것이다. 이러한 의미에서 표식의 위치는 가벼울 때 하나의 안정적인 고정점을 가지다가, 파란색 선을 넘기면서 그 고정점이 불안정하게 변하고 두 개의 안정적인 고정점 두 개가 생겨나는 것이다. ‘추의 무게’라는 파라메터의 변화에서 위상적 불일치가 나타났으니(벡터필드가 달라졌으니) 이는 바이퍼케이션이고, 파란색 선은 바이퍼케이션 포인트에 해당한다. 이렇게 그리는 도식을 바이퍼케이션 다이어그램이라고 한다.

이러한 예시에서 벗어나, 기둥이 받치는 것이 도로^Road… 즉 다리^Bridge의 모델링이라고 생각해보면 바이퍼케이션을 보는 이유가 단박에 납득될 것이다. 바이퍼케이션에는 엄청나게 다양한 예가 있으며, 꼭 이렇게 물리적인 문제가 아니라도 감염병 모델의 기초감염재생산수 같은 임계점^{Critical Point}, 역치^Threshold 등에 대한 탐구를 훨씬 큰 범위로 확장하는 것으로 볼 수 있다.

종류

바이퍼케이션은 많은 학자들의 관심을 받은만큼 정말 많은 종류가 발견되었다. 그 중 몇가지 유명한 것들로는 다음과 같은 것들이 있다:

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동역학에서 벡터필드의 노멀 폼 Normal Form of Vector Field in Dynamics

정의

$p(x;r)$ 가 어떤 다항함수라 하자. $$ \dot{x} = p(x; r) $$ 동역학계의 성질을 설명하기 위해 위와 같이 간략화된 벡터필드를 노멀 폼^{Normal Form}이라 한다.

설명

동역학을 공부할 때, 이를테면 카오스, [바이퍼케이션][../], 프랙탈 등에 대해 공부하면서 난처한 것 중 하나는 수학적 엄밀함과 일반성이 부족한 것처럼 느껴진다는 것이다. 그게 공부하는 자신이 배운 게 없어서 그렇게 보일 뿐인지, 실제로 그런 모호함이 있는지랑은 별개로 ‘예제’ 위주로 ‘현상’부터 익혀나간다는 점이 적잖이 당황스러울 수 있다. 보통 수학책이라면 정의부터 나오고, 관련된 정리가 나오고, 그 증명을 보고, 예제를 보고, 연습 문제를 풀어보는 식인데 그 순서가 엉켜있어 당황스럽게 느껴진다.

노멀 폼은 결코 어렵지도 않고, 목적에 따르면 사실 일련의 탐구를 쉽게 만들어주는 요소임에도 ‘공부를 하는 입장’에서는 오히려 위에서 언급한 혼란을 가중시키는 원인 중 하나다.

예시 ¹

$$ \dot{x} = r - x^{2} $$ 예로써 새들-노드 바이퍼케이션에 대해서 설명할 때는 위와 같은 미분방정식으로 설명하곤 한다. 벡터필드 자체가 변하는 것은 $r = 0$ 의 근방에서 일어나는 일로써, $r > 0$ 일 때는 두 개의 고정점 $x = \pm \sqrt{r}$ 이 존재하고 $r = 0$ 일 때는 $x = 0$ 하나 뿐이고 $r < 0$ 일 때는 존재하지 않는다. 명백하게 $r = 0$ 은 바이퍼케이션 포인트고, 이렇게 두 개의 고정점이 새들 노드가 되었다가 사라지는 현상을 ‘새들-노드 바이퍼케이션’이라 부르는 것 자체는 좋다. 그런데 이것은 새들-노드 바이퍼케이션를 설명하는 한가지 예시일 뿐, $\dot{x} = r - x^{2}$ 자체가 그 모든 것이 아니기 때문에 ‘수학적인 직관’과 정면충돌한다. 수학도라면 누구나 새들-노드 바이퍼케이션를 명확하게 정의하고 그 일반화된 꼴에 대해 알아보고 싶을텐데, 보통은 계속해서 다음의 예시들이 쏟아지며 이에 대한 설명을 넘겨버린다.

그런데 여기 또 다른 새들-노드 바이퍼케이션의 예가 있다. $$ \dot{x} = (r-x) - e^{-x} $$ 기하적으로 보았을 때, 시스템의 우변은 직선 $\dot{x} = r-x$ 과 지수함수의 커브 $\dot{x} = e^{-x}$ 의 합으로 나타난다. 이들이 몇 개의 점에서 만나느냐에 따라 고정점의 수가 달라진다. 이 시스템은 수식적인 모양은 조금 달라도 앞서 설명한 새들-노드 바이퍼케이션을 보여주고 있다. 적어도 바이퍼케이션의 측면에서 이 시스템은 $\dot{x} = r - x^{2}$ 과 크게 다를 바가 없고, 이는 실제로 $x = 0$ 의 근방에서 $e^{-x}$ 의 테일러 전개를 생각해 보았을 때 $$ \begin{align*} \dot{x} =& r - x - e^{-x} \\ =& r - x - \left( 1 - x + {{ x^{2} } \over { 2 }} + \cdots \right) \\ =& (r - 1) - {{ x^{2} } \over { 2 }} + O \left( x^{3} \right) \end{align*} $$ 와 같이 나타낼 수 있다. 이렇듯 $\dot{x} = (r-x) - e^{-x}$ 와 같이 새들-노드 바이퍼케이션의 예시가 얼마나 있든 가장 간단한 꼴로 나타낸 것을 바이퍼케이션에 대한 노멀 폼^{Normal Form for Bifurcation}이라 하고, 이 때 우리는 $\dot{x} = r - x^{2}$ 을 그저 단 하나의 예시로 보는 것이 아닌 것이다.

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피치포크 바이퍼케이션

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트랜스크리티컬 바이퍼케이션

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호프 바이퍼케이션