힐베르트 공간은 리플렉시브임을 증명 📂힐베르트공간

힐베르트 공간은 리플렉시브임을 증명

Hilbert space is reflexive

정리

$H^{\ast \ast} \approx H$

설명

짧고 간단하지만 힐베르트 공간을 연구함에 있어서 듀얼 스페이스보다 커지는 것을 생각할 필요가 없다는 것은 굉장히 좋은 일이다.

증명

  • Part 1. $(H^{ \ast } , \| \cdot \| )$은 힐베르트 공간이다

    리즈 표현 정리

    $H$가 힐베르트 공간이라고 하자. $H$의 선형 범함수 $f \in H^{ \ast }$와 $\mathbf{x} \in H$ 에 대해 $f ( \mathbf{x} ) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \right\rangle$와 $\| f \| = \| \mathbf{y} \|$ 을 만족하는 $\mathbf{y} \in H$ 가 유일하게 존재한다.

    함수 $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle^{ \ast } : H^{ \ast } \times H^{ \ast } \to \mathbb{C}$ 를 $\displaystyle \left\langle f, g \right\rangle^{ \ast } : = \left\langle \mathbf{y}_{g}, \mathbf{y}_{f} \right\rangle = f ( \mathbf{y}_{g} )$ 와 같이 정의하자. 여기서 $\mathbf{y}_{f}, \mathbf{y}_{g} \in H$ 는 리즈 표현 정리에서 $\| f \| = \| \mathbf{y}_{f} \|$ 와 $\| g \| = \| \mathbf{y}_{g} \|$ 를 만족하는 원소들이다.

    그러면 $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle^{ \ast }$ 는 아래의 세가지 조건을 만족시켜 $H^{ \ast }$ 의 내적이 된다.

    (i): $\left\langle \lambda f_{1} + f_{2} , g \right\rangle^{ \ast } = ( \lambda f_{1} + f_{2} ) ( \mathbf{y}_{g} )= \lambda f_{1}( \mathbf{y}_{g} ) + f_{2} ( \mathbf{y}_{g} ) = \lambda \left\langle \lambda f_{1}, g \right\rangle^{ \ast } + \left\langle \lambda f_{2}, g \right\rangle^{ \ast }$

    (ii): $\left\langle f , g \right\rangle^{ \ast } = \left\langle \mathbf{y}_{g} , \mathbf{y}_{f} \right\rangle = \overline{ \left\langle \mathbf{y}_{f} , \mathbf{y}_{g} \right\rangle } = \overline{ \left\langle g , f \right\rangle^{ \ast } }$

    (iii): $\left\langle f , f \right\rangle^{ \ast } = \left\langle \mathbf{y}_{f}, \mathbf{y}_{f} \right\rangle = \| \mathbf{y}_{f} \|^{2} \ge 0$ 그리고 $\left\langle f , f \right\rangle^{ \ast } = \| \mathbf{y}_{f} \|^{2} = 0 \iff \mathbf{y}_{f} = 0 \iff f = 0$

    선형 작용소의 성질

    $Y$가 바나흐 공간이면 $(B(X,Y), \left\| \cdot \right\| )$는 바나흐 공간이다.

    여기서 $Y=\mathbb{C}$가 바나흐 공간이므로, $(B(X,Y), \left\| \cdot \right\|) = (H^{\ast}, \left\| \cdot \right\|)$도 바나흐 공간이다. $H^{\ast}$가 내적이 정의된 완비 공간이므로 힐베르트 공간이 된다.

  • Part 2.

    함수 $\Phi$ 를 정의한다. 함수 $f \in H^{ \ast }$ 에 $\mathbf{x} \in H$ 를 대입하는 함수 $\phi_{\mathbf{x}} \in H^{\ast \ast}$ 를 이용해 $\Phi : H \to H^{\ast \ast}$ 가 $\Phi(\mathbf{x}) := \phi_{\mathbf{x}} (f) = f(\mathbf{x})$ 가 되도록 정의하자.

  • Part 3. $\Phi$는 선형이다

    $f \in H^{ \ast }$ 이므로 $\Phi ( \lambda \mathbf{x} + y) = f ( \lambda \mathbf{x} + y) = \lambda f ( \mathbf{x} ) + f ( y) = \lambda \Phi ( \mathbf{x} ) + \Phi ( y)$

  • Part 4. $\Phi$ 는 단사다

    $\mathbf{x} \in \ker \Phi$ 이라고 하면 $\mathbb{0} = \Phi (\mathbf{x}) = f(\mathbf{x})$ 이므로 $\mathbf{x} \in \ker f$리즈 표현 정리에서 얻은 $f$ 에 대입함수를 취하면 $\phi_x (f) = f(\mathbf{x}) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{y}_{f} \right\rangle = \mathbb{0}$ 이것은 $\mathbf{y}_{f}$ 에 상관없이 성립해야하므로 $\mathbf{x} = \mathbb{0}$ 이어야만한다.

    커널의 성질

    $\ker \Phi = \left\{ \mathbb{0} \right\} \iff \Phi$ 는 단사다.

    $\ker \Phi = \left\{ \mathbb{0} \right\}$ 이므로, 커널의 성질에 의해 $\Phi$ 는 단사다.

  • Part 5. $\Phi$ 는 전사다.

    이미 Part 1. 에서 $H^{ \ast }$ 가 힐베르트 공간임을 보였으므로 리즈 표현 정리를 사용할 수 있다.

    • Part 5-1.

      $F \in H^{\ast \ast} ( F : H^{\ast \ast} \to \mathbb{C})$ 에 대해 $F( \cdot ) = \left\langle \cdot , g_{F} \right\rangle^{ \ast }$ 와 $\| F \| = \| g_{F} \|$ 를 만족하는 $g_{F} \in H^{ \ast }$ 가 유일하게 존재한다.

    • Part 5-2.

      $g_{F} \in H^{ \ast } ( g_{F} : H^{ \ast } \to \mathbb{C})$ 에 대해 $g_{F} ( \cdot ) = \left\langle \cdot , \mathbf{x}_{g_{F}} \right\rangle$ 와 $ \| g_{F} \| = \| \mathbf{x}_{g_{F}} \| $ 를 만족하는 $\mathbf{x}_{g_{F}} \in H$ 가 유일하게 존재한다.

      $$ \begin{align*} F(f) =& \left\langle f , g_{F} \right\rangle^{ \ast } & \text{by Part 5-1.} \\ =& \left\langle f , g_{F} \right\rangle^{ \ast } &\text{by definition of } \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle^{ \ast } \\ =& \left\langle \mathbf{x}_{g_{F}} , \mathbf{y}_{f} \right\rangle^{ \ast } &\text{by definition of }\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle \\ =& f \left( \mathbf{x}_{g_{F}} \right) & \text{by Riesz Representation Theorem} \\ =& \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) &\text{by definition of } \Phi \end{align*} $$

    따라서 모든 $F(f) \in H^{\ast \ast}$ 에 대해서 $\Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) = F(f)$ 를 만족하는 $\mathbf{x}_{g_{F}} \in H$ 가 존재하므로 $\Phi$ 는 전사다.

  • Part 6. $\Phi$ 는 놈을 보존한다.

    $\Phi$ 의 정의에서 $\Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) = \phi_{ \mathbf{x}_{g_{F}} } (f)$ 이므로

    $$ \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) = \phi_{ \mathbf{x}_{g_{F}} } (f) = F(f) $$

    다시말해

    $$ \left\| \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) \right\| = \left\| \phi_{ \mathbf{x}_{g_{F}} } \right\| = \left\| F \right\| $$

    그런데 Part 5-1. 에서 $\| F \| = \| g_{F} \|$, Part 5-2. 에서 $\| g_{F} \| = \| \mathbf{x}_{g_{F}} \|$ 이었으므로

    $$ \left\| \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) \right\| = \| \mathbf{x}_{g_{F}} \| $$

위의 Part 2. 부터 Part 6. 까지를 정리하면 $\Phi$ 는 아이소메트리임을 알 수 있다.

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