에르미트 연산자 📂양자역학

에르미트 연산자

Hermitian Operator

정의

연산자 $A$에 대해서, $A$의 켤레 전치를 $A^{\dagger}$라고 표기한다.

$A = A^{\dagger}$를 만족하는 연산자 $A$를 에르미트 연산자Hermitian operator라고 한다.

설명

$A^{\dagger}$는 [에이 대거]라고 읽는다. 단검의 그 dagger이다.

프랑스 수학자 Hermite에르미트의 이름을 딴 것이다. 영어식으로는 허미션 연산자라고 읽는다.

양자역학에서 등장하는 모든 연산자는 에르미트 연산자이다.

수학에서 복소 켤레의 표기법은 $\overline{a+ib}$이고, 켤레 전치의 표기법은 $A^{\ast}$이다. 물리학에서는 $\ast$의 의미를 복소 켤레에 한정지어 설명하는 경우가 많고, $A^{\dagger} = (A^{T})^{\ast}$라고 표현하기도 한다. 하지만 디랙 표기법을 생각해보면 물리학에서 사용하는 $\ast$에도 '켤레 + 전치' 두 의미가 모두 포함되어 있다는 것을 알 수 있다. 즉 물리학에서는 복소 켤레의 표기법과 켤레 전치의 표기법을 중복으로 $\ast$라고 쓴다. $\ast$가 붙은 대상이 스칼라라면 복소 켤레를, 행렬이나 벡터라면 켤레 전치를 의미하는 것이다. $\ast$를 켤레 전치가 아닌 복소 켤레로만 생각하면 행벡터, 열벡터가 헷갈려 행렬곱을 할 때 실수할 수 있으니 꼭 다음과 같이 기억하자.

$\ast =$ 켤레 $+$ 전치 $=\dagger$

성질

  1. 에르미트 연산자의 기댓값(고유값)은 항상 실수이다.

  2. 에르미트 연산자의 서로 다른 두 고유함수(고유벡터)는 직교한다.

  3. 에르미트 연산자 $A$에 대해서 다음의 식이 성립한다.

    $$ \left\langle A\psi|\phi \right\rangle = \left\langle \psi|A\phi \right\rangle $$

  4. 두 에르미트 연산자$A,B$의 곱 $AB$가 에르미트 연산자일 조건은 $[A,B]=0$이다.

  5. 임의의 연산자 $A$에 대하여 아래의 식은 항상 에르미트 연산자이다.

    $$ A+A^\dagger \\ i(A-A^\dagger) \\ AA^\dagger $$

증명

3

두 행렬 $A, B$에 대해서, $(AB)^{\dagger} = B^{\dagger}A^{\dagger}$이므로,

$$ \begin{align*} \langle A\psi|\phi \rangle =&\ \int(A\psi)^{\dagger}\phi dx \\ =&\ \int \psi^{\dagger} A^{\dagger} \phi dx \\ =&\ \langle \psi|A^{\dagger}\phi \rangle \\ =&\ \langle \psi|A\phi \rangle \end{align*} $$

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