허미션 연산자의 기댓값고유값은 항상 실수임을 증명

허미션 연산자의 기댓값고유값은 항상 실수임을 증명


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선형대수학에서의 증명 보기

허미션 연산자$\mathrm{Hermitian\ Operator}$의 기댓값(고유값$\mathrm{Eigenvlaue}$)은 항상 실수$(\mathrm{real\ number})$이다.

증명

$A$를 허미션 행렬이라고 하자.$A$의 기댓값은$\langle A \rangle = \int \psi^{\ast}A\psi dx=<\psi|A\psi>$이다.실수임을 보이려먼 $<\psi|A\psi>-<\psi|A\psi>^{\ast}=0$임을 보이면 된다.$\begin{align*} <\psi|A\psi>^{\ast} =&\ <A\psi | \psi> \\ =&\ \int (A\psi)^{\ast}\psi dx \\ =&\ \int \psi^{\ast}A^{\ast}\psi dx \\ =&\ \int \psi^{\ast} A \psi dx \ (A\text{는 허미션 연산자이므로 }A^{\ast}=A) \\ =&\ <\psi|A \psi> \end{align*}$따라서 $<\psi|A\psi>-<\psi|A\psi>^{\ast}=<\psi|A\psi>-<\psi|A\psi>=0\ \ _

$우리가 측정하는 물리량은 모두 실수이다.즉, 물리량을 관측하는 물리 연산자는 모두 허미션 연산자임을 알 수있다.

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