두 에르미트 연산자의 곱이 에르미트 연산자일 조건

두 에르미트 연산자의 곱이 에르미트 연산자일 조건


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임의의 두 연산자 $A,B$가 에르미트(허미션) 연산일 때 두 연산자의 곱 $AB$가 에르미트 연산자일 조건은 $[A,B]=0$이다.

즉, 두 연산자가 에르미트 연산자일 때 교환 관계이면 두 연산자의 곱도 에르미트 연산자이다.

증명

$\begin{align*} (AB)^\dagger &= B^\dagger A^\dagger \\ &= BA \ \ (A, B\text{가 에르미트 연산자 이므로}) \end{align*}$이 때 $AB$가 에르미트 연산자라면$(AB)^\dagger=AB$이다.따라서 $AB$가 에르미트 연산자일 조건은$AB=BA $$ \implies AB-BA=0 $$ \implies [A,B]=0$

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