허미션 허미션 행렬 허미션 연산자

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임의의 행렬 $A$가 있을 때 $A ^\dagger$를 $A$의 $\mathrm{Hermitian}$(허미션)이라고 한다.$\dagger$는 대거라고 읽고 $A ^\dagger$는 “에이 대거"라고 읽는다.단검모양처럼 생겼다해서 대거dagger라는 이름이 붙여졌다.연필로 쓸 땐 그냥 십자가모양처럼 쓰면 된다.그래서 $A ^\dagger$가 무슨 뜻인가 하면 행렬 $A$에 $\mathrm{transpose}$를 취해주고 $\mathrm{complex\ conjugate}$를 취해준 행렬을 말한다.즉 $A$의 전치행렬을 구하고 그 전치행렬의 복소 켤레를 구해주면 그게 바로 $A^\dagger$라는 말이다.물론 순서는 상관없다.기호로 나타내면 $\overline{(A^T)}=A^\dagger=A^{\ast}$이다.※참고사항위의 표현에 대해 물리에서 오해의 여지가 있다.정확하게는 수학에서의 $\mathrm{complex\ conjugate}$는 $\overline{\ \ \ }$으로 표기한다.$^{\ast}$는 $\mathrm{complex\ conjugate}$와 $\mathrm{transpose}$의 의미를 동시에 가지고 있다.즉 $\dagger=^{\ast}$이다.하지만 물리에서 $^{\ast}$에 $\mathrm{complex\ comjugate}$의 의미만을 담아서 사용하는 경우가 많다.따라서 $A^\dagger=(A^{\ast})^T$라고 표기할 수도 있다.스칼라에 쓰일 땐 켤레복소수의 의미만 가지고 있고 행렬에 적용될 땐 웬만하면 $\dagger$를 의미한다고 생각하자.개인적인 생각으론 스칼라를 $1\times1$행렬이라고 보면 $\mathrm{transpose}$를 취해도 의미가 없어서 혼용하는 것 같다.헷갈리지 않도록 주의하자!※또한 $A=A^\dagger$일 때 $A$를 허미션 행렬$\mathrm{Hermitian\ matrix}$이라고 한다.물리학에서 나타나는 연산자는 전부 $\mathrm{Hermitian}$ 행렬이다.허미션 행렬의 기댓값은 항상 실수인데 우리가 측정하는 물리량 또한 항상 실수이기 때문이다.

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