조화진동자 연산자의 행렬 표현
📂양자역학
조화진동자 연산자의 행렬 표현
harmonic oscillator operator matrix
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슈뢰딩거 방정식은 선형방정식이므로 방정식을 만족하는 여러 파동함수의 선형결합 역시 방정식을 만족한다.조화 진동자의 각 상태의 고유함수를 $|\psi_0>$, $|\psi_1>$, $\cdots$, $|\psi_n>$라 하면이 고유함수들의 선형결합인 $|\psi>=c_0|\psi_0> + c_1|\psi_1> + \cdots + c_n|\psi_n>$역시 슈뢰딩거 방정식의 해이다.(고유함수라는 것이 아니다. 일반적으로 고유함수의 선형 결합은 고유함수가 아니다.) 기저$\mathrm{basis}$를 $ (\psi_0,\ \psi_1,\cdots , \psi_n)$라 하고 바닥상태부터 차례로 순서를 매기자.그러면 바닥상태부터의 고유함수를 아래와 같은 행렬로 표현할 수 있다.$|\psi_0> = \begin{pmatrix}
1
\\ 0
\\ \vdots
\\ 0
\end{pmatrix}$, $|\psi_1> = \begin{pmatrix}
0
\\ 1
\\ \vdots
\\ 0
\end{pmatrix}$, $|\psi_n> = \begin{pmatrix}
0
\\ 0
\\ \vdots
\\ 1
\end{pmatrix}$ 선형대수를 잘 모르는 사람이라면 직교좌표계에서 각 단위벡터가 어떻게 표현되는지 생각해보자.$\hat{\mathbf{x}} = (1,\ 0,\ 0)$, $\hat{\mathbf{y}} = (0,\ 1,\ 0)$, $\hat{\mathbf{z}} = (0,\ 0,\ 1)$ 따라서 각 고유함수들의 선형결합인 $|\psi>$는 아래와 같은 행렬로 표현할 수 있다.$|\psi>=c_0|\psi_0> + c_1|\psi_1> + \cdots + c_n|\psi_n> = \begin{pmatrix}
c_0
\\ c_1
\\ \vdots
\\ c_n
\end{pmatrix}$ 사다리 연산자의 행렬 표현을 구하기에 앞서 간단한 예시로 그 원리를 설명하겠다.임의의 $2\times 2$행렬인 $A$가 있다.이 행렬의 성분을 모르기에 아래와 같이 표현하자.$A= \begin{pmatrix}
a & b
\\ c & d
\end{pmatrix}$이 행렬의 1행 1열 성분을 뽑아내는 방법은 앞뒤로 두 행렬 $\begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}
1
\\ 0
\end{pmatrix}$을 곱하는 것이다.$\begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a & b
\\ c & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1
\\ 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a
\\ c
\end{pmatrix} = a $ 같은 방법을 써서 각 성분을 구하는 과정은 아래와 같다.$\begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a & b
\\ c & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0
\\ 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
b
\\ d
\end{pmatrix} = b
$$
\begin{pmatrix}
0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a & b
\\ c & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1
\\ 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a
\\ c
\end{pmatrix} = c
$$
\begin{pmatrix}
0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a & b
\\ c & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0
\\ 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
b
\\ d
\end{pmatrix} = d $ 이 원리를 이해했다면 이제 본격적으로 조화진동자의 사다리 연산자의 행렬표현을 구해보자.이제부터 조화 진동자의 고유 함수를 간단하게 $\psi_n> \equiv |n>$으로 표시하겠다.그러면 고유함수와 사다리 연산자의 관계식을 다음과 같이 쓸 수 있다.$a_+|n>= \sqrt{n+1}|n>$이를 이용하여 $a_+$의 각 성분을 구할 수 있다.조화 진동자의 상태는 $n=0$부터 시작함에 주의하자.또한 $<m|n>=\delta_{mn}$를 이용하면 $<n+1|a_+|n>$일 때만 행렬의 성분이 존재함을 알 수 있다.다른 성분은 전부 $0$이다.예를 들어 $<1|a_+|1>=<1|\sqrt{2}|2>=\sqrt{2}<1|2>=0
$$
<2|a_+|1>=<2|\sqrt{2}|2>=\sqrt{2}<2|2>=\sqrt{2}$ $0$이 아닌 성분만 구해보면$<1|a_+|0>=1
$$
<2|a_+|1>=\sqrt{2}
$$
<3|a_+|2>=\sqrt{3}$ $\vdots
$$
<n+1|a_+|n>=\sqrt{n+1}$ 따라서 $a_+$의 행렬은 $(n+2)$행 $(n+1)$열에서 $0$이 아닌 값 $\sqrt{n+1}$을 가진다.(조화진동자의 상태는 $n=0$ 부터 시작함을 다시 한 번 기억하자)$a_+=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0& \cdots
\\ \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 &0 & \cdots
\\ 0 & \sqrt{2} &0 & 0 & 0 & \cdots
\\ 0 & 0 & \sqrt{3} &0 & 0 & \cdots
\\ 0 & 0& 0& \sqrt{4} &0 & \cdots
\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots
\end{pmatrix}$ 같은 방법으로 $a_-$의 행렬 표현도 구할 수 있다.과정은 생략하니 직접 해보자.$a_-=\begin{pmatrix}
0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & 0& \cdots
\\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 &0 & \cdots
\\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{4} & \cdots
\\ 0 & 0& 0& 0& 0 & \cdots
\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots
\end{pmatrix}$ 행렬 표현 역시 $(a_+)^{\ast}=a_-$을 만족하는 것을 알 수 있다.조화진동자의 해밀토니안$H$ 역시 행렬로 표현할 수 있다.$H|n>=(n+\frac{1}{2})\hbar w|n>$임을 알고있으니 위에서 했던 방법을 그대로 쓰면$H=\hbar w\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0& \cdots
\\ 0 & \frac{3}{2} & 0 & 0 &0 & \cdots
\\ 0 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & 0 & \cdots
\\ 0 & 0 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & \cdots
\\ 0 & 0& 0& 0 & \frac{9}{2} & \cdots
\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots
\end{pmatrix}$이 역시 과정은 생략할테니 직접 해보자.
