📂양자역학

연산자 방법으로 조화진동자 문제 풀기 사다리 연산자의 정의

harmonic oscillator ladder operator

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조화진동자 문제를 연산자 방법으로 풀 때 아주 유용한 연산자가 있다.바로 조화진동자의 사다리연산자$\mathrm{Ladder\ Operator}$이다.에너지 연산자인 해밀토니안$H$과도 치환이 가능하고,사다리 연산자의 특징을 이용해 바닥상태부터의 고유함수도 구할 수 있다.조화 진동자의 고전적인 해밀토니안$H$을 인수분해 하는 것에서 새 연산자를 정의하는 힌트를 얻을 수 있다.$\begin{align*} H =&\ \frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2m}mw^2x^2 \\ =&\ \frac{1}{2m} \left(p^2+m^2w^2x^2 \right) \\ =&\ \frac{1}{2m} (ip+mwx)(-ip+mwx) \end{align*}$여기서 힌트를 얻어 조화 진동자의 두 사다리 연산자를 다음과 같이 정의할 수 있다.하필 $i$가 $x$항이 아닌 $p$항에 붙는 이유나 앞의 상수가 $ \dfrac{1}{\sqrt{2\hbar mw}}$인 이유는 최종적으로 나올 식의 형태를 생각해서 계산을 쉽게 할 수 있게 한 것이다.$\displaystyle a_+=\frac{1}{\sqrt{2\hbar mw}}(ip+mwx) $$ a_-=\frac{1}{\sqrt{2\hbar mw}}(-ip+mwx)=(a_+)^{\ast}$이제 두 연산자의 곱으로 해밀토니안$H$을 표현해보자.연산자이므로 곱셈의 순서에 따라 결과가 달라질 수 있음을 유의해야 한다.또한 표준교환관계식$\mathrm{canonical\ commutation\ relation}$ $([x,p]=i\hbar)$을 사용한다.$\begin{align*} a_-a_+ =&\ \frac{1}{2\hbar mw} (p^2 + m^2w^2x^2+mwipx-mwixp) \\ =&\ \frac{1}{2\hbar mw} (p^2 + m^2w^2x^2-mwi[x,p]) \\ =&\ \frac{1}{2\hbar mw} (p^2 + ^2w^2x^2+mw\hbar) \\ =&\ \frac{1}{2\hbar mw} (p^2 + m^2w^2x^2) + \frac{1}{2\hbar mw}(mw\hbar) \\ =&\ \frac{1}{\hbar w}\frac{1}{2m} (p^2 + m^2w^2x^2) + \frac{1}{2} \\ =&\ \frac{1}{\hbar w}H+\frac{1}{2} \end{align*} $$ \therefore H=\hbar w(a_-a_+ - \dfrac{1}{2})$곱의 순서를 바꾸고 같은 과정으로 계산하면$a_+a_-=\dfrac{1}{\hbar w}H-\dfrac{1}{2} $$ \implies H=\hbar w(a_+a_- + \dfrac{1}{2})$이로부터 두 연산자의 교환자도 계산할 수 있다.$[a_-,a_+]=1$이제 두 연산자$a_\pm$를 이용하여 조화진동자의 슈뢰딩거 방정식을 새롭게 표현할 수 있다.$H\psi=E\psi $$ \implies \hbar w (a_\pm a_\mp \pm \dfrac{1}{2})\psi=E\psi$이 두 연산자 $a_+$, $a_-$의 이름은 각각 올림 연산자$\mathrm{rasing\ operator}$, 내림 연산자$\mathrm{lowering\ operator}$이다.이런 이름을 가지는 이유는 바로 고유함수에 적용시켰을 때 에너지(고유값)가 증가하거나 감소하기 때문이다.즉, 에너지를 올려주거나 내려주는 연산자라는 뜻이다.왜 그렇게 되는지는 다음 글을 참고하자다음 글 : 연산자 방법으로 조화진동자 문제 해결하기 : 사다리 연산자 적용

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이전 글 : 연산자 방법으로 조화진동자 문제 풀기 : 사다리 연산자의 정의이제 사다리 연산자가 조화진동자의 고유함수에 어떻게 작용하는지 알아보자.참고로 임의의 상수와 임의의 연산자간의 교환자는 항상 $0$이다.아래의 수식 전개에서 사용한 관계식 $( [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B,\ \ [a_-,a_+]=1 ) $$ H=(a_+a_-+\dfrac{1}{2})\hbar w$이므로, $ \begin{align*} [H,a_+] =&\ [(a_+a_-+\dfrac{1}{2})\hbar w,a_+] \\ =&\ [a_+a_-\hbar w,a_+]+[\dfrac{1}{2}\hbar w, a_+] \\ =&\ \hbar w[a_+a_-,a_+] \\ =&\ \hbar w(a_+[a_-,a_+] + [a_+,a_+]a_-) \\ =&\ \hbar w a_+ \\ =&\ Ha_+ - a_+H \end{align*} $같은 방법으로 $[H,a_-]$를 구하면$[H,a_-]=-\hbar w a_-=Ha_- - a_-H$이제 위에서 구한 관계식을 써서 조화진동자의 고유함수에 적용시켜보자.$a_\pm$는 고유함수$|\psi>$에 대해서 고유값 방정식을 만족시키는 연산자가 아니므로$a_\pm$대신 $H$가 고유함수에 적용될 수 있도록 모양을 바꿔준다.슈뢰딩거 방정식은 $H|\psi>=E|\psi> $$ \begin{align*} Ha_+|\psi> =&\ (\hbar wa_+ + a_+H)|\psi> \\ =&\ (\hbar wa_+ + a_+E)|\psi> \\ =&\ (E+\hbar w)a_+|\psi> \end{align*}$따라서 $|\psi>$가 $H$에 대한 고유함수일 때 $a_+|\psi>$역시 고유값 방 정식을 만족하는 고유함수이다.이 때 $a_+|\psi>$의 고유값은 $(E+\hbar w)$이다.일반식을 구하기 위해 두 번 적용시켜보자.한 번 적용했을 때의 결과를 여기서 사용한다.$\begin{align*} H(a_+)^2|\psi> =&\ Ha_+a_+|\psi> \\ =&\ (a_+H+\hbar w a_+)a_+|\psi> \\ =&\ a_+H+a_+|\psi> + \hbar w a_+a_+|\psi> \\ =&\ a_+(E+\hbar w)a_+|\psi> + \hbar w a_+a_+|\psi> \\ =&\ (E+\hbar w)(a_+)^2|\psi> + \hbar w (a_+)^2|\psi> \\ =&\ (E+2\hbar w)(a_+)^2|\psi> \end{align*}$따라서 고유함수 $|\psi>$에 $a_+$를 $n$번 적용하면 다음과 같은 결과를 얻는다.$\implies H(a_+)^n|\psi>=(E+n\hbar w)(a_+)^n|\psi>$마찬가지로 같은 방법으로 고유함수에 $a_-$를 적용시키면$Ha_-|\psi>=(a_-H - \hbar w a_-)|\psi>=(E-\hbar w)a_-|\psi> $$ \implies H(a_-)^n|\psi>=(E-n\hbar w)(a_-)^n|\psi>$따라서 고유함수에 적용시킬수록 에너지가 커지는 $a_+$를 올림연산자$\mathrm{rasing\ operator}$라 한다.고유함수에 적용시킬수록 에너지가 작아지는 $a_-$를 내림연산자$\mathrm{lowering\ operator}$라 한다.다음글 : 연산자 방법으로 조화진동자 문제 풀기 : 에너지 준위와 바닥상태

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이전 글 : 연산자 방법으로 조화진동자 문제 풀기 : 사다리 연산자 적용계속해서 조화진동자의 에너지와 바닥상태의 고유함수를 구해보자.$E=<\psi|H|\psi>=<\psi|(a_+a_-+\dfrac{1}{2})\hbar w|\psi>$이 때 고유함수에 한 없이 $a_-$를 적용시킬 순 없다.에너지가 $0$보다 작아질 수는 없다는 말이다.에너지가 포텐셜 보다 작을 때는 해가 없기 때문에 $E>U$이어야 하기 때문이다.즉, 더 이상 에너지준위가 내려가지 않는 바닥상태$\mathrm{ground\ state}$가 있고바닥 상태에 내림연산자$\mathrm{lowering\ operator}$를 적용시키면 $0$이다.즉, 바닥상태를 $|\psi_0>$라고 하면$a_-|\psi_0>=0$이제 이 사실을 이용해서 바닥상태의 에너지를 구해보자.$\begin{align*} H|\psi_0> =&\ (a_+a_- + \frac{1}{2})\hbar w|\psi_0> \\ =&\ \hbar w a_+a_-|\psi_0>+\frac{1}{2}\hbar w|\psi_0> \\ =&\ \frac{1}{2}\hbar w |\psi_0> \end{align*} $$ \therefore H|\psi_0>=\dfrac{1}{2}\hbar w |\psi_0>$바닥상태의 에너지는 $E_0=\dfrac{1}{2}\hbar w$이다.$0$이 아니다!이전 글에서 사다리 연산자는 고유함수의 에너지를 $\pm \hbar w$만큼 변화시키는 것을 알았다.즉, 첫 번째 들뜬 상태의 에너지는$E_1=\dfrac{1}{2}\hbar w +\hbar w$두 번째 들뜬 상태의 에너지는$E_2=\dfrac{1}{2}\hbar w+2\hbar w$따라서 $n$번째 에너지에 대해서 일반적으로 표현할 수 있다.$E_n=(n+\dfrac{1}{2})\hbar w,\ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdot)$에너지 준위가 등간격($\hbar w $)으로 이루어져있음을 알 수 있다.이제 바닥상태의 고유함수 $\psi_0$를 구체적으로 구해보자.참고로 운동량 연산자 $p$는 $p={\hbar \over i}{\partial \over \partial x}$$a_-\psi_0=0 $$ \implies {1 \over {\sqrt{2\hbar mw}} }(-ip+mwx) \psi_0=0 $$ \implies (-ip+mwx) \psi_0=0 $$ \implies (\hbar\frac{\partial}{\partial x} +mwx) \psi_0=0 $$ \implies \frac{\partial}{\partial x}\psi_0=-\frac{mwx}{\hbar}\psi_0$여기서 변수분리를 해주면$\displaystyle \frac{1}{\psi_0} d\psi_0=-\frac{mwx}{\hbar} dx $$ \implies \ln (\psi_0) = -\frac{mwx^2}{2\hbar}+C $$ \implies \psi_0(x)=Ce^{-\frac{mwx^2}{2\hbar}}$이제 규격화상수 $C$만 구하면 바닥상태의 고유함수를 정확하게 알 수 있다.규격화 조건에 의해$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} (\psi_0)^{\ast}\psi_0dx=1 $$ \implies |C|^2\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{mwx^2}{\hbar}} dx=1$이 적분을 계산하기 위해 가우스 적분 : $e^{-x^2}$꼴의 정적분을 참고하자.적분하기 편하게 치환을 해주면 $\sqrt{\frac{mw}{\hbar}}x \equiv y $$ dx=\sqrt{\frac{\hbar}{mw}}dy$, 적분 범위는 변함 없다.이제 원래의 식에 대입해주면$\displaystyle \implies |C|^2\sqrt{\dfrac{\hbar}{mw}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-^y2} dy=1 $$ \implies |C|^2\sqrt{\dfrac{\hbar}{mw}}\sqrt{\pi}=1 $$ \implies |C|^2\sqrt{\dfrac{\hbar \pi}{mw}}=1 $$ \therefore |C|^2=\sqrt{\frac{mw}{\hbar \pi}},\ \ C=(\frac{mw}{\hbar \pi})^{\frac{1}{4}}$따라서 최종적으로 바닥상태의 고유함수는$\psi_0 (x)=(\frac{mw}{\hbar \pi})^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{mwx^2}{2\hbar}}$다음 글에서는 $n$에 대해서 일반화된 고유함수를 구해보겠다.다음 글 : 연산자 방법으로 조화진동자 문제 풀기 : 일반화된 고유함수

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이전 글 : 연산자 방법으로 조화진동자 문제 풀기 : 에너지 준위와 바닥상태의 고유함수 이제 조화진동자의 사다리 연산자와 바닥상태의 고유함수로부터 일반화된 고유함수를 구해보자.사다리 연산자 $a_\pm$는 고유함수 $\psi_n$의 상태를 한 단계 올려주거나 내려준다.따라서 다음과 같은 식을 세울 수 있다.$a_+|\psi_n>=C_+|\psi_{n+1}> $$ a_-|\psi_n>=C_-|\psi_{n-1}> $$ C_\pm$는 각각 $n$번째와 $(n+1)$번째, $n$번째와 $(n-1)$번째 상태 사이의 비례계수이다. 이 비례계수를 정확하게 구해보자.각 고유함수들이 규격화된 고유함수라고 가정하고 규격화조건을 사용하자.규격화된 고유 함수는 자신과 내적하면 값이 $1$이다.사다리 연산자와 해밀토니안 사이의 관계식을 사용하면.$\begin{align*} (a_+|\psi_n>)^{\ast}(a_+|\psi_n>) =&\ <\psi_n|a_-a_+|\psi_n> \\ =&\ <\psi_n| \frac{1}{\hbar w}H + \frac{1}{2} |\psi_n> \\ =&\ \frac{1}{\hbar w} E_n <\psi_n|\psi_n> + \frac{1}{2} <\psi_n|\psi_n> \\ =&\ \frac{1}{\hbar w}(n+\frac{1}{2})\hbar w +\frac{1}{2} \\ =&\ n+1 \end{align*}$ 반면 위의 비례식을 사용하면$\begin{align*} (a_+|\psi_n>)^{\ast}(a_+|\psi_n>) =&\ (C_+|\psi_{n+1}>)^{\ast}(C_+|\psi_{n+1}>) \\ =&\ |C_+|^2<\psi_{n+1}|\psi_{n+1}> \\ =&\ |C_+|^2 \end{align*}$ 따라서 위의 두 결과를 종합하면 $C_+$값을 얻을 수 있다.$|C_+|^2=n+1 $$ \implies C_+=\sqrt{n+1} $$ \therefore a_+|\psi_n>=\sqrt{n+1}|\psi_{n+1}>$ 같은 방법으로 $C_-$도 구할 수 있다.과정은 생략하고 결과만 적을 테니 직접 해보길 바란다.$|C_-|^2=n $$ \implies C_-=\sqrt n $$ \implies a_-|\psi_n>=\sqrt n |\psi_{n-1}>$ 이제 이 결과와 바닥상태 $|\psi_0>$를 이용해서 일반화된 $n$번째 상태를 구해보자.$ a_+|\psi_n>=\sqrt{n+1}|\psi_{n+1}>$이므로 $ |\psi_{n+1}>=\frac{1}{\sqrt{n+1}}a_+|\psi_n>$이다. 1번째 들뜬 상태$|\psi_1>=a_+|\psi_0>$2번째 들뜬 상태$\begin{align*} |\psi_2> =&\ \frac{1}{\sqrt{2}}a_+|\psi_1> \\ =&\ \frac{1}{\sqrt{2}}a_+a_+|\psi_0> \\ =&\ \frac{1}{\sqrt{2}}(a_+)^2|\psi_0> \end{align*}$3번째 들뜬 상태$\begin{align*} |\psi_3> =&\ \frac{1}{\sqrt{3}}a_+|\psi_2> \\ =&\ \frac{1}{\sqrt{3}}a_+\frac{1}{\sqrt{2}}(a_+)^2|\psi_0> \\ =&\ \frac{1}{\sqrt{3!}}(a_+)^3|\psi_0> \end{align*}$4번째 들뜬 상태$\begin{align*} |\psi_4> =&\ \frac{1}{\sqrt{4}}a_+|\psi_3> \\ =&\ \frac{1}{\sqrt{4}}a_+\frac{1}{\sqrt{3!}}(a_+)^3|\psi_0> \\ =&\ \frac{1}{\sqrt{4!}}(a_+)^4|\psi_0> \end{align*}$ 따라서 $|\psi_n>=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a_+)^n|\psi_0> $ 여기에 이전에 구한 바닥상태의 고유함수 $\psi_0(x)=(\frac{mw}{\hbar \pi})^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{mwx^2}{2\hbar}}$와사다리 연산자 $a_+=\frac{1}{\sqrt{2\hbar mw }}(mwx+ip)=\sqrt{\frac{mw}{2\hbar}}x-\sqrt{\frac{\hbar}{2mw}}\frac{d}{dx}$를 대입하면 $\psi_n (x) =\frac{1}{\sqrt{n!}} \left( \sqrt{\frac{mw}{2\hbar}}x-\sqrt{\frac{\hbar}{2mw}}\frac{d}{dx} \right)^n (\frac{mw}{\hbar \pi})^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{mwx^2}{2\hbar}}$이것이 바로 연산자를 이용해서 구한 조화진동자의 일반화된 $n$번째 상태($n$번째 고유함수)이다.