조화 함수

조화 함수

정의 1

함수 $\phi(x,y)$ 가 영역 $\mathscr{R}$ 에서 연속이계도함수를 가지며 라플라스 방정식의 솔루션이면 하모닉Harmonic하다고 말한다. 다시 말해, 하모닉 함수는 다음을 만족하는 함수다. $$ \Delta \phi = \nabla^{2} \phi = \phi_{xx} + \phi_{yy} = 0 $$ 특히 함수 $u(x,y), v(x,y)$ 가 하모닉하면서 $u,v$ 가 코시-리만 방정식을 만족시키면 $v(x,y)$ 가 $u(x,y)$ 의 하모닉 컨쥬게이트Conjugate라고 한다. $$ \begin{cases} u_{x} (x,y) = v_{y} (x,y) \\ u_{y} (x,y) = -v_{x} (x,y) \end{cases} $$

설명

좁은 의미

좁은 의미에서 조화 함수 혹은 조화파harmonic waves란, 사인 함수나 코사인 함수를 의미한다. 혹은 이 둘의 결합복소 지수함수를 의미한다.

$$ f(x) = A \sin kx \quad \text{or} \quad f(x) = e^{ix} = \cos x + i \sin x $$

특히 시간-조화time-harmonic 함수라고 하면 다음과 같이 시간에 대한 변수가 추가된 형태를 의미한다.

$$ f(x,t) = e^{i(kx-\omega t)} $$

공학에서는 시정현파라고도 한다.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p58~59. ↩︎

댓글