유한 차원 벡터 공간의 하멜 베이시스

유한 차원 벡터 공간의 하멜 베이시스

정의 1

벡터 공간 $X$ 가 주어져 있다고 하자.

  1. $X$의 벡터 $x_{1} , \dots , x_{n}$와 스칼라 $\alpha_{1} , \dots , \alpha_{n}$ 에 대해 $\alpha_{1} x_{1} + \cdots + \alpha_{n} x_{n}$를 벡터 $x_{1} , \dots , x_{n}$들의 선형 결합이라 한다.

  2. $M =\left\{ x_{1} , \dots , x_{n} \right\}$이라 할 때 $M$의 모든 벡터의 선형 결합들의 집합을 $\text{span} M$ 이라 하고, $M$에 의해 생성된 $X$의 부분 공간이라 한다.

  3. $\alpha_{1} x_{1} + \cdots + \alpha_{n} x_{n} = 0$를 만족하는 경우가 $\alpha_{1} = \cdots = \alpha_{n} = 0$ 뿐일 때 $M$은 선형 독립이라고 한다.

  4. 유한 집합 $K \subset X$가 $\text{span} K = X$를 만족하면 $X$가 유한 차원이라 한다.

  5. 선형 독립 집합 $M$이 $\text{span} M = X$를 만족할 때, $M$ 을 $X$의 기저라고 한다.

  6. 기저의 기수 $\dim X := | M|$ 을 $X$의 차원이라한다.

설명

벡터 공간의 기저는 특히 ‘유한’ 선형 결합에 대해 논할 때 하멜 베이시스라고 불리운다. 유한 차원 놈 공간은 말이 길어 그렇지 선형대수를 처음 접하면서부터 알고 있어서 친숙한 공간이기도 하다. 그래서 보통은 이들이 얼마나 좋은 성질을 가지고 있는지 그에 대한 어떤 진지한 고찰을 하지는 않았을 것이다.

유클리드 공간을 생각해본다면야 위의 사실들은 팩트로써 받아들일 수 있지만, 일반적인 공간에선 그렇지만도 않다. 모두 일일이 증명이 필요하며, 생각보다 쉽지만은 않다.

같이보기


  1. Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p54~55. ↩︎

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