한 분해 정리

한 분해 정리

정리1

설명

(a) 임의의 가측공간이 주어질 때 마다 집합 $X$를 가측공간 위에서 정의된 $\nu$에 대해서 양의 집합과 음의 집합으로 분리할 수 있다는 것이다.

(b) 위에서 말한 것과 같이 집합 $X$를 나눌 때 나누는 방법이 여러 가지로 존재하더라도 사실상 차이가 나지 않는다는 말이다. $P$와 $P’$, $N$과 $N’$은 항상 서로 영집합만큼만 차이가 나므로 집합의 관점에서는 서로 다를 수 있어도 측도의 관점에서는 같다.

증명

이 정리의 증명 자체는 그리 어려운 편이 아니나, 증명의 흐름이 간단하지만은 않아서 이를 미리 구체적으로 설명하고 시작하겠다. 우선 어떤 양의 집합 $P$를 정의한다. 그리고 $N$을 $N:=X-P$로 정의한다. 이때 $N$이 음의 집합이면 (a) 에 대한 증명이 끝난다. $N$이 음의 집합임을 증명하기 전에 위와 같이 정의된 $N$이 어떤 두 가지 성질을 가짐을 확인할 것이다. 그리고 최종적인 증명에는 귀류법 을 사용한다. $N$이 음의 집합이 아니라고 가정한 후 두 성질을 이용하여 모순이 생김을 보이는 것으로 증명을 완료한다.


일반성을 잃지 않고, $\nu$가 $+\infty$값을 갖지 않는다고 가정하자. 다른 경우에는 $-\nu$에 대해서 같은 방법으로 증명하면 된다. $C$를 $\mathcal{E}$에서 모든 포지티브 셋컬렉션이라 하자. 그러면 가정에 의해 $\nu$는 $+\infty$값을 가지지 않으므로 아래와 같이 정의되는 $M$이 존재한다.

$$ M:=\sup \limits_{P \in C } \nu(P) < \infty $$

이제 $\nu(P)=M$을 만족하는 맥시마이저 $P$가 존재한다는 것을 보일 수 있다. 아래와 같은 맥시마이징 시퀀스 $\left\{ P_j \right\}$를 생각하자.

$$ \lim \limits_{j \rightarrow \infty} \nu (P_j)=M $$

이 때 $P_j$들 사이에 아무런 포함 관계가 없으므로 아래와 같은 $\tilde{P_j}$를 생각하자.

$$ \tilde{P_j} :=\bigcup \limits_{k=1}^j P_k $$

그러면 $\nu(P_j) \le \nu (\tilde{P_j}) \le M$이므로 $\left\{ \tilde{P_j} \right\}$는 맥시마이징 시퀀스이다. 또한 $\tilde{P_1} \subset \tilde{P_2}\subset \cdots $임은 정의에 의해 당연하다. 이제 $P$를 아래와 같이 정의하자.

$$ P := \bigcup \limits_{j=1}^\infty \tilde{P_j} $$

그러면 다음이 성립한다.

$$ \nu(P)=\lim \limits_{j\rightarrow \infty} \nu(\tilde{P_j})=M $$

따라서 $\nu(P)=M$을 만족하는 맥시마이저가 존재함을 보였다. 또한 $P$는 양집합들의 가산합이므로 양집합이다. 실제로 이렇게 만들어낸 $P$와 $N:=X-P$은 정리에서 말한 한 분해가 된다. $N$이 그러한 음의 집합임을 보이는 과정이 남았다.이제 $N:=X \setminus P$라고 하자. 위에서 설명했듯이 $N$이 음의 집합임을 보이면 증명이 끝난다. 우선 이러한 $N$이 아래와 같은 두 가지 성질을 가짐을 증명하겠다.

이제 $N$가 음의 집합이 아니라고 가정하자. 위의 두 성질을 이용하여 모순이 생김을 보이면 $N$가 음의 집합임을 증명한 것이다.


  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p86-87 ↩︎

  2. 존재하지 않으면 정의에 따라 A는 공집합이거나 양집합이어야한다. ↩︎

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