한-바나흐 확장 정리

한-바나흐 확장 정리

Hahn-Banach Extension Theorem

정리1

$(X, \left\| \cdot \right\|)$를 놈 공간이라고 하자. $Y \subset X$라고 하자. 그리고 $Y$의 선형 범함수 $y^{\ast} \in Y^{\ast}$가 주어졌다고 하자. 그러면 아래의 식을 만족하는 $X$의 선형 범함수 $x^{\ast} \in X^{\ast}$가 존재한다.

$$ \begin{equation} x^{\ast}(y)=y^{\ast}(y),\quad \forall y \in Y \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \| x^{\ast}\|_{X^{\ast}} = \| y^{\ast}\|_{Y^{\ast}} \end{equation} $$

설명

간단히 말하자면 부분 공간듀얼을 전체 공간의 듀얼로 확장할 수 있다는 말이다. 다시 말해 부분 공간의 모든 선형 범함수는 자신과 함숫값, 놈이 같은 전체 공간의 선형 범함수를 짝으로 가진다. 또한 놈 공간 $X$를 $\mathbb{ C}$-벡터공간이라고 취급하자.

보조 정리: 세미 놈에 대한 한-바나흐 정리

$X$는 $\mathbb{C}$-벡터 공간이고 $Y \subset X$라고 하자. $p : X \to \mathbb{ R}$를 $X$의 세미 놈이라고 하자. 그리고 $ y^{\ast} : Y \to \mathbb{ C}$가 아래의 조건을 만족하는 $Y$의 선형 범함수라고 가정하자.

$$ | y^{\ast}(y) | \le p(y),\quad \forall y\in Y $$

그러면 아래의 조건을 만족하는 $X$의 선형 범함수 $x^{\ast} : X \to \mathbb{C}$가 존재한다.

$$ x^{\ast}(y)=y^{\ast}(y),\quad \forall y \in Y $$

$$ | x^{\ast}(x) | \le p(x),\quad \forall x \in X $$

증명

$X$와 $Y$의 놈을 $\left\| \cdot \right\|$, $X^{\ast}$의 놈을 $\left\| \cdot \right\|_{X^{\ast}}$, $Y^{\ast}$의 놈을 $\left\| \cdot \right\|_{Y^{\ast}}$와 같이 나타내자. $p : X \to \mathbb{R}$가 아래와 같이 정의된 함수라고 하자.

$$ p(x)=\|y^{\ast}\|_{Y^{\ast}} \|x \|_{X},\quad x\in X $$

그러면 $p$는 준선형임을 보일 수 있다. 정의에 의해 $0 \le p$이므로 $p$는 세미놈이다. 또한 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} y^{\ast}(y) \le & | y^{\ast}(y) | \\ =&\ \left| \|y\| \frac{1}{\| y\|} y^{\ast}(y) \right| \\ =&\ \|y\| \left| y^{\ast}\left( \frac{y}{\|y\|} \right) \right| \\ \le & \|y\| \left\|y^{\ast}\right\|_{Y^{\ast}} \\ =&\ p(y) \end{align*} $$

세번째 줄에서 $\|y\|$는 상수이므로 절댓값 밖으로 나올 수 있고, $y^{\ast}$가 선형이므로 $\frac{1}{\|y\|}$가 함수 안으로 들어갔다. 또한 네 번째 줄은 $\left\| \frac{y}{\|y\|} \right\| =1$이고 듀얼의 놈의 정의에 의해 $\| y^{\ast}\|_{Y^{\ast}}=\sup \limits_{\substack{ \|y\| \le 1 \\ y\in Y}} |y^{\ast}(y)|$이므로 성립한다. 따라서 보조 정리를 쓸 수 있는 조건이 만족됐으므로 아래의 조건을 만족하는 $X$의 선형 범함수 $x^{\ast} : X \to \mathbb{ C}$가 존재한다.

$$ x^{\ast}(y)=y^{\ast}(y), \quad \forall y \in Y $$

$$ \begin{equation} | x^{\ast}(x) | \le p(x),\quad \forall x \in X \end{equation} $$

첫 번째 조건은 $(1)$과 동치이다. $(3)$에 의해

$$ |x^{\ast}(x)| \le p(x) =\|y^{\ast}\|_{Y^{\ast}} \|x\| $$

듀얼의 놈의 정의에 의해

$$ \|x^{\ast}\|_{X^{\ast}} = \sup \limits_{\substack{ \|x\| \le 1 \\ x\in X}}\|y^{\ast}\|_{Y^{\ast}} \|x\| = \|y^{\ast}\|_{Y^{\ast}} $$

이므로 $(2)$의 조건을 만족한다.

따름정리

1

$X$가 놈 공간이고 $x_0 \in X$라고 하자. 그러면 아래의 조건을 만족하는 $x^{\ast} \in X^{\ast}$가 존재한다.

$$ \|x^{\ast}\|_{X^{\ast}} = 1,\quad x^{\ast}(x_0) = \| x_0\| $$

증명

$Y=\left\{ \lambda | \lambda x_0 \in \mathbb{ R}\right\}$이라고 하자. 그러면 $Y$는 $X$의 부분공간이 된다. 이제 $Y$의 선형 범함수 $y^{\ast} : Y \to \mathbb{R}$을 아래와 같이 정의하자.

$$ y^{\ast}(y)=y^{\ast} (\lambda x_0):=\lambda \|x_0\|,\quad y=\lambda x_0\in Y $$

$y^{\ast}$가 실제로 선형이 됨은 쉽게 확인할 수 있으므로 생략한다. $y^{\ast}$의 정의에 의해

$$ | y^{\ast}(y) |=\lambda\|x_0 \|=\|\lambda x_0\|=\| y\| $$

듀얼의 놈의 정의에 의해 $\| y^{\ast}\|_{Y^{\ast}}=\sup \limits_{\substack{ \|y\| \le 1 \\ y\in Y}} |y^{\ast}(y)|$이므로

$$ \begin{equation} \|y^{\ast}\|_{Y^{\ast}} = 1 \end{equation} $$ 또한

$$ y^{\ast}(x_0)=\|x_0\| \tag{5} $$

한-바나흐 확장 정리에 의해 주어진 $y^{\ast}$에 대해 $\|x^{\ast}\|_{X^{\ast}} = 1 = \|y^{\ast}\|_{Y^{\ast}}$이고 $x^{\ast}(y)=y^{\ast}(y),\forall y \in Y$를 만족하는 $X$의 선형 범함수 $x^{\ast}$가 존재한다. 이때 $(4)$, $(5)$에 의해

$$ \|x^{\ast}\|_{X^{\ast}} = \|y^{\ast}\|_{Y^{\ast}} = 1 $$

$$ x^{\ast}(x_0)=y^{\ast}(x_0)=\| x_0\| $$

2

$X$는 $\mathbb{C}$-벡터 공간이고 $Y \subset S$ 둘 다 $X$ 의 부분공간이라고 하자. 만약 $s \in S$ 가 $d (s, Y) = \delta > 0$ 면 다음을 만족하는 $x^{\ast} \in X^{\ast}$ 가 존재한다.

$$ \left\| x^{\ast} \right\|_{X^{\ast}} \le 1 $$

$$ \begin{align*} y^{\ast} (s) =&\ y^{\ast} (s) = \delta, \quad s \in (S \setminus Y) \\ x^{\ast} (y) =&\ y^{\ast} (y) = 0, \quad y \in Y \end{align*} $$


$d \left( s, Y \right)$ 는 점 $s$ 와 집합 $Y$ 사이의 가장 가까운 거리, 즉 $d (s,Y) := \inf \limits_{y \in Y} \left\| s-y \right\|$ 를 나타낸다.

증명2

$$ S := Y + \mathbb{C} s = \left\{ y + \lambda s : y \in Y , \lambda \in \mathbb{C} \right\} $$

이라고 하면 $S \subset X$ 이다. 이에 대해 함수 $y^{\ast} : S \to \mathbb{C}$ 를

$$ y^{\ast} \left( y + \lambda s \right) := \lambda \delta $$

와 같이 정의하면 $y^{\ast}$ 는 당연히 선형성을 가진다. 이제 $y^{\ast}$ 가 함수인지 확인하자. $y_{1} + \lambda_{1} s = y_{2} + \lambda_{2} s$ 이라 두고 $\lambda_{1} \ne \lambda_{2}$ 라 가정하면 $y_{1} - y_{2} = \left( \lambda_{2} - \lambda_{2} \right) s$ 이므로 $\displaystyle s = {{ 1 } \over { \lambda_{2} - \lambda_{1} }} \left( y_{1} - y_{2} \right)$ 이고, $Y$ 는 벡터 공간이므로 덧셈에 대해 닫혀 있어 $s \in Y$ 여야한다. 그러나 이는 $d (s, Y) > 0$ 에 모순이므로 $\lambda_{1} = \lambda_{2}$ 이어야하고,

$$ y^{\ast} \left( y_{1} + \lambda_{1} s \right) = \lambda_{1} \delta = \lambda_{2} \delta = y^{\ast} \left( y_{2} + \lambda_{1} s \right) $$

이므로 $y^{\ast}$ 는 함수로써 잘 정의된다. 모든 $y + \lambda s \in S$ 에 대해

$$ \begin{align*} \left| y^{\ast} (y + \lambda s) \right| =&\ \left| \lambda \delta \right| \\ =&\ \left| \lambda \right| d (s,Y) \\ =&\ \left| \lambda \right| \inf_{y \in Y} \left\| s-y \right\| \\ =&\ \left\| s- \lambda y \right\| \\ \le& \left\| y + \lambda s \right\| \end{align*} $$ 이므로 $y^{\ast}$는 유계고, 특히 $\left\| y^{\ast} \right\| \le 1 $이다. $y^{\ast} : S \to \mathbb{C}$ 가 유계 선형 함수이므로 $y^{\ast} \in Y^{\ast}$며, 한-바나흐 정리에 의해 모든 $s \in S$에 대해 $x^{\ast}(s) = y^{\ast}(s)$ 을 만족하게끔 존재하는 $x^{\ast} \in X^{\ast}$ 는 $\left\| x^{\ast} \right\|_{X^{\ast}} \le 1$ 을 만족한다. 한편 $y^{\ast}$ 의 정의에서 $\lambda = 0$ 을 대입하면 $y^{\ast} (y + 0 s) = 0 $ 이므로 모든 $y \in Y$ 에 대해

$$ y^{\ast} (y ) = x^{\ast}(y) = 0 $$

또한 $y^{\ast}$ 는 선형이므로

$$ y^{\ast} (s) = y^{\ast} (y) + 1 y^{\ast} (s)= y^{\ast} (y + 1s) = 1 \delta $$

다시 말해, $s \in (S \setminus Y)$ 에 대해

$$ y^{\ast} (s) = x^{\ast}(s) = \delta $$

부록

부록1

$x_{1},x_{2} \in X$이고 $\lambda \in \mathbb{C}$라고 하자. 그러면

$$ \begin{align*} p(x_{1} + x_{2}) =&\ \|y^{\ast}\|_{Y^{\ast}} \|x_{1} + x_{2} \| \\ \le & \|y^{\ast}\|_{Y^{\ast}} \big(\| x_{1}\| +\|x_{2}\| \big) \\ =&\ \|y^{\ast}\|_{Y^{\ast}} \|x_{1}\| + \|y^{\ast}\|_{Y^{\ast}} \|x_{2}\| \\ =&\ p(x_{1})+p(x_{2}) \end{align*} $$

$$ \begin{align*} p(\lambda x_{1}) =&\ \|y^{\ast}\|_{Y^{\ast}} \|\lambda x_{1} \| \\ =&\ |\lambda | \|y^{\ast}\|_{Y^{\ast}} \|x_{1}\| \\ =&\ | \lambda| p(x_{1}) \end{align*} $$

이므로 $p$는 준선형이다.

부록2

$X$가 벡터공간이므로 $X$의 원소에 상수를 곱한 값 또한 $X$의 원소이다. 따라서 $Y$는 $X$의 부분집합이 된다. 부분집합 $Y$가 부분공간이 되려면 덧셈과 상수배에 대해서 닫혀있음을 보이면 된다.$y_{1}=\lambda_1x_0 \in Y$, $ y_{2}=\lambda_2x_0 \in Y$, $\lambda_1, \lambda_2, k \in \mathbb{R}$이고 $\lambda_1+\lambda_2=\lambda_3\in \mathbb{R}$, $k\lambda_1=\lambda_4\in \mathbb{ R}$이라고 하자. 그러면

$$ y_{1}+y_{2}=\lambda_1 x_0 + \lambda_2 x_0=\lambda_3x_0\in Y $$

$$ ky_{1}=k(\lambda_1x_0)=(k \lambda_1)x_0=\lambda_4 x_0 \in Y $$

따라서 $Y$는 $X$의 부분공간이다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p6 ↩︎

  2. http://mathonline.wikidot.com/corollaries-to-the-hahn-banach-theorem ↩︎

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