행렬의 아다마르 곱 📂행렬대수

행렬의 아다마르 곱

Hadamard Product of Matrices

정의

두 행렬 $A, B \in M_{m \times n}$의 아다마르 곱Hadamard product $A \odot B$를 다음과 같이 정의한다.

$$ A \odot B = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \odot\begin{bmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix} := \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} & \cdots & a_{1n}b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}b_{m1} & \cdots & a_{mn}b_{mn} \end{bmatrix} $$

$$ [A \odot B]_{ij} := [A]_{ij} [B]_{ij} $$

설명

$\odot$의 $\TeX$ 코드는 \odot이다.

성분별 곱elementwise product이라고도 많이 부른다. 행렬 곱과는 다르게, 크기가 같아야 정의되고 교환법칙도 성립한다.

  • $A \odot B = B \odot A$
  • $(A \odot B) \odot C = A \odot (B \odot C)$
  • $A \odot (B + C) = A \odot B + A \odot C$
  • $k(A \odot B) = (kA) \odot B = A \odot (kB)$

프로그래밍 언어에서

이와 같은 성분별pointwise 연산은 기존의 연산에 점point .을 추가하는 식으로 구현되어있다. 이러한 표기는 굉장히 직관적인데, 가령 곱셈이 *라면 점별 곱셈은 .*이다.

줄리아

julia> A = [1 2 3; 4 5 6]
2×3 Matrix{Int64}:
 1  2  3
 4  5  6

julia> B = [2 2 2; 2 2 2]
2×3 Matrix{Int64}:
 2  2  2
 2  2  2

julia> A.*B
2×3 Matrix{Int64}:
 2   4   6
 8  10  12

매트랩

>> A = [1 2 3; 4 5 6]
A =
     1     2     3
     4     5     6

>> B = [2 2 2; 2 2 2]
B =
     2     2     2
     2     2     2

 
>> A.*B
ans =
     2     4     6
     8    10    12

다만 파이썬의 경우 과학계산을 위한 언어가 아니기 때문에 줄리아나 매트랩과 같이 구현되어있지않다. 곱셈 기호 *가 성분별 곱셈을 의미하고, 행렬곱은 @로 쓴다.

>>> import numpy
>>> A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
>>> B = np.array([[2, 2, 2], [2, 2, 2]])
>>> A*B
array([[ 2,  4,  6],
       [ 8, 10, 12]])

>>> import torch
>>> A = torch.tensor([[1, 2, 3],[4, 5, 6]])
>>> B = torch.tensor([[2, 2, 2],[2, 2, 2]])
>>> A*B
tensor([[ 2,  4,  6],
        [ 8, 10, 12]])
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