군의 작용

군의 작용

Group action

정의 1

항등원이 $e$ 인 $G$ 와 집합 $X$ 에 대해 다음의 두 조건을 만족하는 이항연산 $\ast : G \times X \to X$ 를 $X$ 상에서 $G$ 의 작용Action이라 하고 $X$ 를 $G$-집합이라고 부른다.

  • (i): 모든 $x \in X$ 에 대해 $ex = x$
  • (ii): 모든 $x \in X$ 와 $g_{1} , g_{2} \in G$ 에 대해 $( g_{1} g_{2} ) (x) = g_{1} (g_{2} x)$

설명

군의 작용은 한마디로 ‘$x \in X$ 에다 $g \in G$ 를 가한다’는 말이다. 직관적으로 이해할만한 예시로 다음과 같은 그림을 생각해보자:

20180720\_170542.png

$$ X : = \left\{ C, 1,2,3,4 , p_{1}, p_{2} , p_{3} , p_{4} , s_{1}, s_{2} , s_{3} , s_{4} , d_{1}, d_{2} , m_{1} , m_{2} \right\} $$ 위와 같은 집합 $X$ 에 대해 정이면체군 $D_{4}$ 을 생각해보자. 정사각형에서 떠올릴 수 있는 선분과 점들의 집합인 $X$ 는 뒤집고 회전시키는 $D_{4}$ 에 의해 위치가 바뀔 수 있어 $D_{4}$-집합이다. 이렇게 $X$ 에 변화를 주는 조작을 작용이라 부르는 것은 굉장히 상식적이고 타당하다 할 수 있을 것이다.

참고로 $X$ 는 딱히 군일 필요도 없고 $G$ 와 관계가 없을 수도 있다. 예를 들어 $\mathbb{Z}$ 와 $$ X:= \left\{ \cdots , - {{3} \over {2}} , - {{1} \over {2}}, {{1} \over {2}} , {{3} \over {2}} , \cdots \right\} $$ 를 생각해보면 $\left< X , + \right>$ 는 군이 되지도 못하고 아직 $G = \mathbb{Z}$ 와 아무런 관계도 없다. 그런데 $z \in \mathbb{Z}$ 와 $x \in X$ 에 대해 $\ast : \mathbb{Z} \times X \to X$ 가 $ z * x = z + x$ 로 정의된다면

  • (i): $0 + x = x$ 이고
  • (ii): $(z_{1} + z_{2}) + x = z_{1} + (z_{2} + x)$ 이므로 연산 $\ast$ 는 $X$ 상에서의 작용이 되고, $X$ 는 $\mathbb{Z}$-집합이다.

  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p154. ↩︎

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