양자역학에서 수소원자의 최소 에너지

양자역학에서 수소원자의 최소 에너지

ground energy of hydrogen atoms in quantum mechanics


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불확정성 원리the uncertainty principle를 이용하여 수소원자의 최소 에너지를 구해보자.수소 원자의 에너지 $E$는$ \begin{align*} E =&\ \frac{p^2}{2m}-\frac{e^2}{r} \\ =&\ \frac{1}{2m}\frac{{\hbar}^2}{r^2}-\frac{e^2}{r} \end{align*}$불확정성 원리에 의해 $pr \simeq \hbar $$ E$가 최소일 때를 구하려면$ \displaystyle { \left. \frac{\partial E}{\partial r} \right|_{r=r_0}=0 \\ -\frac{{\hbar}^2}{m{r_0}^3}+\frac{e^2}{{r_0}^2}=0 \\ -\frac{{\hbar}^2}{m}+e^2r_0=0 \\ r_0=\frac{{\hbar}^2}{me^2} } $$ \begin{align*} \implies E_{min} =&\ \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{m^2e^4}{{\hbar}^4}-\frac{me^4}{{\hbar}^2} \\ =&\ \frac{me^4}{2{\hbar}^2}-\frac{me^4}{{\hbar}^2} \\ =&\ -\frac{1}{2}\frac{me^4}{{\hbar}^2} \\ =&\ -\frac{1}{2}\frac{me^4{\color{blue}{c^2}}}{{\hbar}^2{\color{blue}{c^2}}} \\ =&\ -\frac{1}{2}mc^2\alpha ^2 \end{align*} $(여기서 $\displaystyle \alpha = \frac{e^2}{\hbar c}$으로 정의되는 미세구조 상수fine structure constant이며 그 값은 $\displaystyle \alpha\simeq\frac{1}{137}$) $\therefore$ 수소원자의 최소 에너지는 $\displaystyle E_{min}=-\frac{1}{2}mc^2\alpha ^2$

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