균일한 구 껍질과 떨어진 입자 사이의 중력

균일한 구 껍질과 떨어진 입자 사이의 중력

균일한 구 껍질과 떨어진 입자 사이의 중력1

전체 질량이 $M$이고 반지름이 $R$인 균일한 구 껍질이 있다고 하자. 그리고 구 껍질의 중심 $O$로부터 $r$만큼 떨어진 곳에 질량이 $m$인 입자가 있다고 하자. 이 때 $R<r$이다. 우선 구껍질 일부분이 입자에 미치는 힘을 구해보자.

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위 그림과 같은 구 껍질 띠를 생각해보자. 그러면 껍질 띠의 반지름은 $R\sin \theta$이다. 따라서 껍질 띠의 둘레는 $2\pi R \sin \theta$이다. 또한 폭은 $R\Delta \theta$로 근사된다. 따라서 껍질 띠의 질량은 아래와 같다.

$$ \Delta M = \rho 2\pi R^{2} \sin \theta \Delta \theta $$

이때 $\rho=\frac{M}{4\pi R^{2}}$는 구 껍질의 단위 면적당 질량이다. 이제 구 껍질 띠 위의 점 Q가 입자 $P$에 미치는 중력을 $\Delta \mathbf{F}_{Q}$라고 하자. 그리고 이를 수평성분 $\Delta \mathbf{F}_{Q}\cos \phi$와 수직성분 $\Delta \mathbf{F}_{Q}\sin \phi$로 나눠보자 그러면 수직 성분은 $Q$와 반대편에 위치한 질점에 의한 힘의 수직성분으로 상쇄됨을 알 수 있다. 따라서 구 껍질 띠 전체가 입자에 미치는 힘 $\Delta \mathbf{F}$의 방향은 입자 $P$에서 구껍질의 중심 $O$로 향하는 방향과 같음을 알 수 있다. 또한 그 크기는 만유인력의 법칙에 의해 다음과 같다.

$$ \Delta F=G\frac{m\Delta M}{s^{2}}\cos \phi =G\frac{ m2\pi \rho R^{2} \sin \theta \cos \phi}{s^{2}}\Delta \theta $$

이제 $\theta$에 대해서 적분해주면 전체 구 껍질이 입자에 작용하는 힘의 크기를 구할 수 있다.

$$ \begin{equation} F = Gm2\pi \rho R^{2}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin \theta \cos \phi}{s^{2}}d\theta \label{eq1} \end{equation} $$

여기서 적분 변수 $\theta$를 $s$로 변환하면 적분이 쉬워진다. 우선 삼각형 $OPQ$에 코사인 제 2법칙을 적용하면 아래와 같다.

$$ r^{2} +R^{2} -2rR\cos\theta=s^{2} $$

위 식에서 $r$, $R$은 상수이므로 양 변을 미분하면 다음의 식을 얻는다.

$$ \begin{align} &&2rR\sin \theta d \theta &= 2s ds \nonumber \\ \implies && \sin \theta d \theta &= \frac{s }{rR}ds \label{eq2} \end{align} $$

마찬가지로 코사인 제2 법칙을 각도 $\phi$에 대해서 적용하면 다음의 식을 얻는다.

$$ \begin{equation} \cos \phi = \frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{2rs} \label{eq3} \end{equation} $$

이제 $\eqref{eq2}$, $\eqref{eq3}$을 $\eqref{eq1}$에 대입하고 적분을 계산하면 아래와 같다.

$$ \begin{align*} F &= Gm2\pi\rho R^{2}\int_{r-R}^{r+R} \frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{2Rr^{2}s^{2}}ds \\ &= \frac{ Gm2\pi R^{2}M}{4\pi R^{2}}\frac{1}{2Rr^{2}}\int _{r-R}^{r+R}\frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{s^{2}}ds \\ &= \frac{ GmM}{4R r^{2}}\int _{r-R}^{r+R}\frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{s^{2}}ds \\ &= \frac{ GmM}{4R r^{2}}\int _{r-R}^{r+R}\left( 1+\frac{r^{2}-R^{2}}{s^{2}}\right)ds \\ &= \frac{ GmM}{4R r^{2}}\left[ s-\frac{(r-R)(r+R)}{s} \right]_{r-R}^{r+R} \\ &= \frac{ GmM}{4R r^{2}}\Big[ (r+R)-(r-R)-(r-R)+(r+R)\Big] \\ &= \frac{GmM}{r^{2}} \end{align*} $$

방향까지 더해 벡터로 표기하면 아래와 같다.

$$ \mathbf{F} = -G\frac{mM}{r^{2}}\mathbf{e}_{r} $$

이때 $\mathbf{e}_{r}$은 $O$가 원점일 때 반지름 방향의 단위벡터이다.


  1. Grant R. Fowles and George L. Cassiday, Analytical Mechanics (7th Edition, 2005), p223-225 ↩︎

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