그램-슈미트 직교화

그램-슈미트 직교화

Gram schmidt orthogonalization

정리

모든 유한차원 내적공간은 정규직교기저를 갖는다.

설명

존재성 증명이라는 게 대개 그렇듯 길지도 않고 별것도 아닌것 같아보이지만 엄청나게 중요한 정리다. 선형대수학을 지탱하는 수많은 논리가 바로 이 정규직교기저가 존재한다는데에 의존하고 있기 때문이다.

증명

내적공간 $(V, \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle)$ 을 생성하는 기저 중 하나를 $\left\{ \mathbf{x}_{1} , \cdots , \mathbf{x}_{n} \right\}$ 이라고 잡자. 새로운 벡터

$$ \mathbf{v}_{1} := {{ \mathbf{x}_{1} } \over {||\mathbf{x}_{1}||}} $$

$$ {\color{blue} \mathbf{v}_{2}} := {{ {\color{red} \mathbf{x}_{2} - ( \mathbf{x}_{2} \cdot \mathbf{v}_{1} ) \mathbf{v}_{1} } } \over { || \mathbf{x}_{2} - ( \mathbf{x}_{2} \cdot \mathbf{v}_{1} ) \mathbf{v}_{1} || }} = {{ \mathbf{x}_{2} - \text{Proj} ( \mathbf{x}_{1} ) } \over { || \mathbf{x}_{2} - \text{Proj} ( \mathbf{x}_{1} ) || }} $$

을 정의하자.

20180120\_134426.png

그림에서 나타낸 바와 같이 $\mathbf{v}_{1} \perp \mathbf{v}_{2}$ 가 성립한다. 위와 같은 프로세스는

$$ \mathbf{v}_{k} := {{ \mathbf{x}_{k} - \text{Proj} ( \mathbf{x}_{k-1} ) } \over { || \mathbf{x}_{k} - \text{Proj} ( \mathbf{x}_{k-1} ) || }} $$ 에 대해서 반복할 수 있으므로, 직교기저 $\left\{ \mathbf{v}_{1} , \cdots , \mathbf{v}_{n} \right\}$ 을 찾을 수 있다. 정의에 따라 $\mathbf{v}_{1} , \cdots , \mathbf{v}_{n}$ 들은 모두 그 크기가 $1$ 이므로 $\left\{ \mathbf{v}_{1} , \cdots , \mathbf{v}_{n} \right\}$ 는 정규직교벡터다.


사실 정규화는 그저 크기가 1이 되도록 놈을 나눠주면 그만이고, 핵심적인 것은 사영을 이용해 직교벡터를 찾는 것이다.

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