양자역학에서의 그람-슈미트 직교화 과정

양자역학에서의 그람-슈미트 직교화 과정

gram schmidt orthogonalization procedure


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수학에서의 그람-슈미트 직교화

**그람-슈미트 직교화 과정$(\mathrm{Gram-schmidt\ orthogonalization\ procedure})$ $A$를 임의의 에르미트 연산자라 하자. 그리고 규격화된 시간에 무관한 두 1차원 파동함수 $u_1$, $u_2$가 축퇴돼있다고 하자. $$ Au_1=au_1 $$

$$ Au_2=au_2 $$ 이 때 $u_1$과 직교하는 새로운 고유함수를 구하는 방법을 그람-슈미트 직교화 과정이라 한다. 그리고 그 고유함수 $u$는 아래와 같다. $$ u=\dfrac { \left(-\displaystyle \int u_1^{\ast} u_2 dx \right)u_1 + u_2}{\sqrt{\displaystyle 1-\left| \int u_1^{\ast} u_2 dx \right|^2}} $$

우선 $u=c_1 u_1+c_2u_2$라고 하자. 이 때 $c_1,\ c_2$는 임의의 실수이다. 그러면 축퇴된 두 고유함수의 선형결합 $u$도 $A$의 고유함수가 된다. $$ \begin{align*} Au =&\ A(c_1u_1 + c_2u_2) \\ =&\ c_1Au_1 + c_2 A u_2 \\ =&\ c_1au_1 + c_2au_2 \\ =&\ a(c_1u_1 + c_2u_2) \\ =&\ au \end{align*} $$ 이제 $u$가 $u_1$과 직교한다는 조건과 $u$의 규격화 조건을 이용해서 $c_1$과 $c_2$를 구할 수 있다.

Part 1** $u$와 $u_1$는 직교한다. $$ \begin{align*} \int uu_1^{\ast} dx =&\ \int \left( c_1 u_1u_1^{\ast} + c_2u_2u_1^{\ast}\right) dx \\ =&\ \int c_1u_1 u_1^{\ast}dx + \int c_2u_2u_1^{\ast} dx \\ =&\ c_1 +c_2 +\int u_1^{\ast}u_2 dx \\ =&\ 0 \end{align*} $$ 따라서 $$ c_1=-c_2 \int u_1^{\ast}u_2 dx \quad \cdots (1) $$

Part 2** $u$는 규격화된 함수이다. $$ \begin{align*} \int uu^{\ast} dx =&\ \int (c_1u_1+c_2u_2)(c_1u_1^{\ast}+c_2u_2^{\ast})dx \\ =&\ (c_1)^2 + (c_2)^2 c_1c_2 \left( \int u_1^{\ast}u_2 dx + \int u_1u_2^{\ast}dx \right) \\ =&\1 \end{align*} $$ 마지막 등식에 $(1)$을 대입하면 $$ (c_2)^2 \left( \int u_1^{\ast} u_2 dx \right)^2 + (c_2)^2 -(c_2)^2 \left( \int u_1^{\ast} u_2 dx\right)^2 -(c_2)^2 \int u_1^{\ast} u_2 dx \int u_1u_2^{\ast} dx =1 $$

$$ \implies (c_2)^2 -(c_2)^2 \int u_1^{\ast} u_2 dx \int u_1u_2^{\ast} dx =1 $$

$$ \implies (c_2)^2 \left( 1- \left| \int u_1^{\ast}u_2 dx \right |^2 \right)=1 $$

$$ \implies c_2=\dfrac{1}{\sqrt{1- \left|\int u_1^{\ast}u_2 dx \right|^2}} $$ 여기서 $c_2$의 부호로 $+$를 택한 것은 단순히 편의를 위해서이며 $-$를 택해도 상관없다. 이를 $(1)$에 대입하면 $c_1$을 얻는다. $$ c_1 = \dfrac{ -\int u_1^{\ast}u_2 dx }{\sqrt{1- \left|\int u_1^{\ast}u_2 dx \right|^2}} $$ 따라서 $u_1$과 수직인, 규격화된 함수 $u$는 $$ u=\dfrac { \left(-\displaystyle \int u_1^{\ast} u_2 dx \right)u_1 + u_2}{\sqrt{\displaystyle 1-\left| \int u_1^{\ast} u_2 dx \right|^2}} $$

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