분리벡터의 크기의 그래디언트 📂수리물리

분리벡터의 크기의 그래디언트

gradient of separation vector

공식

분리벡터 $\boldsymbol{\eta}$의 크기의 $n$ 제곱, $\eta ^{n}$의 그래디언트는 다음과 같다.

$$ \nabla (\eta^n)=n\eta^{n-1}\hat{\boldsymbol{\eta}} $$


다항함수의 미분과 같은 방식으로 계산한 뒤에 단위벡터인 $\hat{\boldsymbol{\eta}}$만 붙여주면 된다.

설명

분리벡터는 $\boldsymbol{\eta}=\mathbf{r}-\mathbf{r’}$이므로 $(x,y,z)$와 $(x’,y^{\prime},z’)$를 변수로 가진다. 따라서 미분할 때 이에 주의해야 한다. 윗첨자가 없는 좌표와 있는 좌표에 대한 그래디언트를 아래와 같이 나타내겠다.

$$ \begin{align*} \nabla f&= \dfrac{\partial f}{\partial x}\hat {\mathbf{x}} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \hat{\mathbf{y}} + \dfrac{\partial f} {\partial z} \hat{\mathbf{z}} \\ \nabla’ f&= \dfrac{\partial f}{\partial x’}\hat {\mathbf{x}} + \dfrac{\partial f}{\partial y^{\prime}} \hat{\mathbf{y}} + \dfrac{\partial f} {\partial z’} \hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$

직교 좌표계에서 분리벡터는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \boldsymbol{\eta} &= (x-x’)\hat {\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} + (z-z’)\hat{\mathbf{z}} \\ \eta &= \sqrt{ (x-x’)^{2} + (y-y^{\prime})^{2} + (z-z’)^{2} } \\ \hat{ \boldsymbol{\eta}} &= \dfrac{ (x-x’)\hat {\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} + (z-z’)\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{ (x-x’)^{2} + (y-y^{\prime})^{2} + (z-z’)^{2} }} \end{align*} $$

$n=2$, $n=-1$인 경우의 결과를 먼저 살펴보고 일반적인 경우에 대해서 증명하겠다. 식이 너무 긴 경우에는 같은 부분을 빨간색 대괄호 ${\color{red}[ \ \ ]}$로 표시하여 생략하였다.

증명

$\nabla \eta^{2} = 2\boldsymbol{\eta}=2\eta\hat{\boldsymbol{\eta}}$

$$ \begin{align*} \nabla(\eta ^{2}) =&\ \frac{\partial }{\partial x} {\color{red} \left[ (x-x’)^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z’)^{2} \right]} \hat{\mathbf{x}} +\frac{\partial }{\partial y}{\color{red}[ \ \ ]}\hat{\mathbf{y}} +\frac{\partial }{\partial z}{\color{red}[ \ \ ]}\hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 2(x-x’)\hat{\mathbf{x}}+2(y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}}+2(z-z’)\hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 2 \left( (x-x’)\hat {\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} + (z-z’)\hat{\mathbf{z}} \right) \\ =&\ 2\boldsymbol{\eta} \\ =&\ 2\eta\hat{\boldsymbol{\eta}} \end{align*} $$

$\nabla \dfrac{1}{\eta} = -\dfrac{1}{\eta^{2}}\hat{\boldsymbol{\eta}}$

$$ \begin{align*} \nabla \dfrac{1}{\eta} &= \dfrac{\partial }{\partial x} {\color{red} \left[ (x-x’)^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z’)^{2} \right]}^{-\frac{1}{2}} \hat{\mathbf{x}} +\dfrac{\partial }{\partial y}{\color{red}[ \ \ ]}^{-\frac{1}{2}} \hat{\mathbf{y}} +\dfrac{\partial }{\partial z}{\color{red}[ \ \ ]}^{-\frac{1}{2}} \hat{\mathbf{z}} \\ &= -\frac{1}{2}\dfrac{2(x-x’)}{ {\color{red} \left[(x-x’)^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z’)^{2} \right]}^{\frac{3}{2}} }\hat{\mathbf{x}} - \frac{1}{2}\dfrac{2(y-y^{\prime})}{ {\color{red}[ \ \ ]}^{\frac{3}{2}} } \hat{\mathbf{y}} -\frac{1}{2}\dfrac{2(z-z’)}{ {\color{red}[ \ \ ]}^{\frac{3}{2}} } \\ &= -\dfrac{1}{ {\color{red} \left[(x-x’)^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z’)^{2} \right]} } \left[ \dfrac{(x-x’)}{ {\color{red}[ \ \ ]}^{\frac{1}{2}} } \hat{\mathbf{x}} + \dfrac{(y-y^{\prime})}{ {\color{red}[ \ \ ]}^{\frac{1}{2}} } \hat{\mathbf{y}} + \dfrac{(z-z’)}{ {\color{red}[ \ \ ]}^{\frac{1}{2}} } \right] \\ &= -\dfrac{1}{ {\color{red}\eta^{2}} } \left[ \dfrac{(x-x’)}{ {\color{red} \left[ (x-x’)^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z’)^{2} \right]} ^{\frac{1}{2}}} \hat{\mathbf{x}} + \dfrac{(y-y^{\prime})}{ {\color{red}[ \ \ ]}^{\frac{1}{2}}} \hat{\mathbf{y}} +\dfrac{(z-z’)}{ {\color{red}[ \ \ ]}^{\frac{1}{2}}} \hat{\mathbf{z}} \right] \\ &= -\dfrac{1}{\eta^{2}} \dfrac{ (x-x’)\hat{\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} +(z-z’)\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{(x-x’)^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z’)^{2}}} \\ &= -\dfrac{1}{\eta^{2}}\hat{\boldsymbol{\eta}} \end{align*} $$

$\nabla (\eta^n)=n\eta^{n-1}\hat{\boldsymbol{\eta}} $

$$ \begin{align*} \nabla (\eta^n) &= \frac{\partial}{\partial x}(\eta^n)\hat{\mathbf{x}}+ \frac{\partial}{\partial y}(\eta^n)\hat{\mathbf{y}}+\frac{\partial}{\partial z}(\eta^n)\hat{\mathbf{z}} \\ &= \frac{\partial}{\partial \eta}(\eta^n)\frac{\partial \eta}{\partial x}\hat{\mathbf{x}}+ \frac{\partial}{\partial \eta}(\eta^n)\frac{\partial \eta}{\partial y}\hat{\mathbf{y}}+\frac{\partial}{\partial \eta}(\eta^n)\frac{\partial \eta}{\partial z}\hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$

두번째 등호는 연쇄 법칙에 의해 성립한다. 이 때 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \frac{\partial \eta}{\partial x} &=\frac{\partial }{\partial x}[(x-x’)^{2} + (y-y^{\prime})^{2} +(z-z’)^{2})]^{\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{2}[2(x-x’)][(x-x’)^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z’)^{2}]^{-\frac{1}{2}} \\ &= \frac{x-x’}{\eta} \end{align*} $$

마찬가지로 $\dfrac{\partial \eta}{\partial y}= \dfrac {y-y^{\prime}}{\eta}$ , $\dfrac{\partial \eta}{\partial z} = \dfrac {z-z’}{\eta}$이다. 따라서 정리하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \nabla (\eta^n) &= \frac{\partial}{\partial \eta}(\eta^n)\frac{x-x’}{\eta}\hat{\mathbf{x}}+ \frac{\partial}{\partial \eta}(\eta^n)\frac{y-y^{\prime}}{\eta}\hat{\mathbf{y}}+\frac{\partial}{\partial \eta}(\eta^n)\frac{z-z’}{\eta}\hat{\mathbf{z}} \\ &= \frac{\partial}{\partial \eta}(\eta^n) \left( \frac{x-x’}{\eta}\hat{\mathbf{x}}+ \frac{y-y^{\prime}}{\eta}\hat{\mathbf{y}}+\frac{z-z’}{\eta}\hat{\mathbf{z}} \right) \\ &= n\eta^{n-1}\hat{\boldsymbol{\eta}} \end{align*} $$

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