3차원 데카르트 좌표계에서 스칼라 함수의 그래디언트(기울기)
gradient of scalar function in cartesian coordinate system
정의
3변수 스칼라 함수 $f=f(x,y,z)$의 그래프의 각 점에서 기울기와 증가하는 방향을 나타내는 벡터를 $\nabla f$라고 표기하며 그래디언트gradient라고 부른다.
$$ \mathrm{grad}f=\nabla f = \frac{ \partial f}{ \partial x }\hat{\mathbf{x}}+\frac{ \partial f}{ \partial y}\hat{\mathbf{y}}+\frac{ \partial f}{ \partial z}\hat{\mathbf{z}} $$
설명
그래디언트는 기울기, 구배, 물매 등으로 번역된다. 구매, 물매는 그래디언트의 옛날식 번역이고 최근에는 잘 쓰이지 않는다. 구배는 기울기의 한자어이기 때문에 기울기와 같은 말이다. 그래디언트는 실제로 벡터이기 때문에 기울기라는 말은 그래디언트가 가지는 의미를 모두 담기에는 부족한 것같다. 생새우초밥집에서는 기울기라는 말 대신 그래디언트로 통일한다.
$\nabla f$를 $\nabla=\frac{ \partial }{ \partial x}\hat{\mathbf{x}} +\frac{ \partial }{ \partial y}\hat{\mathbf{y}}+\frac{ \partial }{ \partial z}\hat{\mathbf{z}}$라는 벡터와 스칼라 $f$의 곱이라고 생각하는 것은 매우 위험한 사고방식이다. 온갖 그래디언트, 다이벌전스, 컬 계산이 난무하는 전자기학에서 잘못된 계산을 하거나 주어진 식을 이해하는데 어려움을 겪을 수 있다. 자세한 내용은 델 연산자 문서를 참고하자.
1차원의 경우
위 그림을 보자. $f_{1}$의 점 $x=2$에서의 미분 계수는 $4$이다. $4$라는 값은 함수 $f_{1}$이 점 $x=2$에서 어느 정도로 기울어졌는지를 말해주는 양이지만 그것 뿐만이 아니다. $4$ 앞에 $+$라는 부호가 $f_{1}$의 그래프는 $x$가 증가하는 방향으로 증가한다는 사실도 알려준다. 따라서 미분 계수 $4$를 단순히 스칼라가 아니라 1차원 벡터 $4\hat{\mathbf{x}}$로 이해해야한다.
마찬가지로 $f_{2}$의 $x=2$에서의 미분 계수는 $-3$인데 이는 기울어진 정도가 $3$이라는 것과 더불어 $x$가 증가하는 방향으로 갈 수록 $f_{2}$의 그래프가 감소한다는 의미를 포함한다. 즉 부호를 방향이라고 생각했을 때 미분 계수의 방향은 함수의 그래프가 커지는 쪽을 향한다는 얘기다. 다른 말로 하면 미분 계수가 가리키는 곳을 따라가면 그래프의 정상을 찾을 수 있다는 말이다.
3차원으로 확장하기 전에 $y$의 $x$에서의 미분 계수 $\dfrac{ d y}{ d x}=a$를 마치 분수인 것처럼 쓸 수 있음을 떠올리자. 이는 미분을 수학적으로 엄밀하게 다루는 방법은 아니나 기하학적인 의미를 이해하는데 도움을 주는 등 의 이점이 있다. 라이프니츠는 $dy$, $dx$를 $y$와 $x$의 아주 작은 변화량, 미분소라고 생각했고 그 변화량 사이의 비율을 미분계수라고 불렀다.1
$$ dy=adx $$
여담으로 이렇게 생각하면 왜 $a$를 미분 ‘계수’라 부르는지 이해할 수 있다.
3차원으로의 확장
이제 3차원 스칼라 함수 $f=f(x,y,z)$와 위치 벡터 $\mathbf{r}=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}}$이 주어졌다고 하자. $f$의 변화량은 전미분으로 표현된다.
$$ \begin{equation} df=\frac{ \partial f}{ \partial x }dx + \frac{ \partial f}{ \partial y}dy+\frac{ \partial f}{ \partial z}dz \label{eq1} \end{equation} $$
$\mathbf{r}$의 변화량은 아래와 같다.
$$ d\mathbf{r}=dx\hat{\mathbf{x}}+dy\hat{\mathbf{y}}+dz\hat{\mathbf{z}} $$
이제 1차원에서와 같이 $df$와 $d\mathbf{r}$ 사이의 비율을 나타내는 무언가를 찾아보자. 그런데 $df$는 스칼라이고 $d\mathbf{r}$은 벡터이므로 그 ‘무언가’는 벡터이며 $d\mathbf{r}$과 내적으로 곱해져있음을 상상할 수 있다. 따라서 일단 그 무언가를 $\mathbf{a}=a_{1}\hat{\mathbf{x}}+a_{2}\hat{\mathbf{y}}+a_{3}\hat{\mathbf{z}}$라고 표시하면
$$ \begin{align*} df=\mathbf{a}\cdot d\mathbf{r}&=(a_{1}\hat{\mathbf{x}}+a_{2}\hat{\mathbf{y}}+a_{3}\hat{\mathbf{z}})\cdot(dx\hat{\mathbf{x}}+dy\hat{\mathbf{y}}+dz\hat{\mathbf{z}}) \\ &= a_{1}dx+a_{2}dy+a_{3}dz \end{align*} $$
이를 $\eqref{eq1}$과 비교하면 아래의 결과를 얻는다.
$$ \mathbf{a}=\frac{ \partial f}{ \partial x}\hat{\mathbf{x}}+\frac{ \partial f}{ \partial y}\hat{\mathbf{y}}+\frac{ \partial f}{ \partial z}\hat{\mathbf{z}} $$
이제부터 이 벡터 $\mathbf{a}$를 $\nabla f$로 표기하고 $f$의 그래디언트라고 부르기로 하자. 그래디언트의 방향은 함수 $f$의 그래프가 증가하는 방향을 가리키고, 크기는 그 정도를 나타낸다. 다음은 2차원 함수 $z=f(x,y)=y\sin x-x\cos y$의 그래프와 $\nabla f$를 나타낸 그림이다.
