📂전자기학

지연시각의 그래디언트(기울기)

gradient of retarded time

개요

지연 시각의 그래디언트는 다음과 같다.

$$ \nabla t_r=-\frac{1}{c} \crH $$

증명

$\acR = c(t -t_r)$이고 $t$는 공간 변수와는 무관하므로

$$ \nabla \cR =\nabla(-c t_r)=-c \nabla t_{r} $$

따라서 지연시각의 기울기는 $\nabla \cR$를 계산해서 구할 수 있다.

$$ \begin{align} \nabla \cR &= \nabla \sqrt{\bcR \cdot \bcR} \nonumber \\ &= \frac{1}{2\sqrt{\bcR\cdot \bcR}} \nabla (\bcR \cdot \bcR ) \nonumber \\ &= \frac{1}{2\cR} \nabla (\bcR \cdot \bcR ) \nonumber \\ &= \frac{1}{2\cR} \Big[ \bcR \times (\nabla \times \bcR ) + \bcR \times (\nabla \times \bcR) + (\bcR \cdot \nabla)\bcR +(\bcR \cdot \nabla)\bcR\Big] \nonumber \\ &= \frac{1}{\cR} \Big[\bcR\times (\nabla \times \bcR) + (\bcR \cdot \nabla) \bcR \Big] \end{align} $$

네 번째 등호는 곱셈규칙 (b)에 의해 성립한다. 이제 남은 계산을 하나씩 해보면

• Part 1. $(\bcR \cdot \nabla)\bcR$

$$ \begin{align*} (\bcR \cdot \nabla ) \bcR &= (\bcR \cdot \nabla ) \mathbf{r} - ( \bcR \cdot \nabla) \mathbf{w} \\ &= \bcR - \mathbf{v} ( \bcR \cdot \nabla t_r) \end{align*} $$

두 번째 등호는 임의의 벡터 $\mathbf{A}$에 대해서 $(\mathbf{A} \cdot \nabla )\mathbf{r}=\mathbf{A}$¹, $(\abcR \cdot \nabla)\mathbf{A}=\dfrac{\partial \mathbf{A} }{\partial t_r}(\abcR \cdot \nabla t_r)$²이므로 $(\bcR \cdot \nabla )\mathbf{r}=\bcR$, $( \bcR \cdot \nabla ) \mathbf{w} = \mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_r)$이기 때문에 성립한다.

• Part 2. $\nabla \times \bcR$

$$ \begin{align*} \nabla \times \bcR &= \nabla \times \mathbf{r} -\nabla \times \mathbf{w} \\ &= -\nabla \times \mathbf{w} \\ &= -(- \mathbf{v} \times \nabla t_r ) \\ &= \mathbf{v} \times \nabla t_r \end{align*} $$

두 번째 등호는 $\nabla \times \mathbf{r}=0$이므로 성립한다. $\mathbf{r}$의 각 성분은 다른 성분에는 독립적이므로 당연한 결과이다. 무슨 말인지 모르겠다면 $\mathbf{r}=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}}$라고 두고 직접 계산해보라. 세 번째 등호는 임의의 벡터 $\mathbf{A}$에 대해서 $\nabla \times \mathbf{A} = -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \times \nabla t_r$³이므로 $\nabla \times \mathbf{w}=-\mathbf{v}\times\nabla t_r$이므로 성립한다.

• Part 3. 결론

따라서 위 두 결과를 $(1)$에 대입하면

$$ \begin{align*} \nabla \cR &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_r) + \bcR \times (\mathbf{v} \times \nabla t_r) \Big] \\ &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_r) + \mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_r)-\nabla t_r(\bcR \cdot \mathbf{v}) \Big] \\ &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\nabla t_r (\bcR \cdot \mathbf{v} )\Big] \end{align*} $$

두 번째 등호는 BAC-CAB 공식에 의해 성립한다. 정리하면

$$ \begin{align*} && -c \nabla t_r = \nabla \cR &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\nabla t_r (\bcR \cdot \mathbf{v} )\big] \\ \implies && \bcR - \nabla t_r(\bcR \cdot \mathbf{v}) &= -\cR \nabla t_r \\ \implies && \nabla t_r &= \frac{-\bcR}{\cR c - (\bcR \cdot \mathbf{v})} \end{align*} $$

이는 전하가 움직이지 않을 때도 성립하는 일반적인 결과이다. $t_r=t-\frac{\cR}{c}$이므로

$$ \nabla t_r = -\nabla \frac{\cR}{c}=-\frac{1}{c} \nabla \cR $$

이때 $\nabla \acR = \acrH$이므로

$$ \nabla t_r=-\frac{1}{c} \crH $$

위의 결과에서 $\mathbf{v}=\mathbf{0}$을 대입하면 같다.

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