지연시각의 그래디언트(기울기)

지연시각의 그래디언트(기울기)

gradient of retarded time

개요

지연 시각그래디언트는 다음과 같다.

$$ \nabla t_r=-\frac{1}{c} \hat{ \boldsymbol{\eta}} $$

증명

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$\eta = c(t -t_r)$이고 $t$는 공간 변수와는 무관하므로

$$ \nabla \eta =\nabla(-c t_r)=-c \nabla t_{r} $$

따라서 지연시각의 기울기는 $\nabla \eta$를 계산해서 구할 수 있다.

$$ \begin{align} \nabla \eta &= \nabla \sqrt{\boldsymbol{\eta} \cdot \boldsymbol{\eta}} \nonumber \\ &= \frac{1}{2\sqrt{\boldsymbol{\eta}\cdot \boldsymbol{\eta}}} \nabla (\boldsymbol{\eta} \cdot \boldsymbol{\eta} ) \nonumber \\ &= \frac{1}{2\eta} \nabla (\boldsymbol{\eta} \cdot \boldsymbol{\eta} ) \nonumber \\ &= \frac{1}{2\eta} \Big[ \boldsymbol{\eta} \times (\nabla \times \boldsymbol{\eta} ) + \boldsymbol{\eta} \times (\nabla \times \boldsymbol{\eta}) + (\boldsymbol{\eta} \cdot \nabla)\boldsymbol{\eta} +(\boldsymbol{\eta} \cdot \nabla)\boldsymbol{\eta}\Big] \nonumber \\ &= \frac{1}{\eta} \Big[\boldsymbol{\eta}\times (\nabla \times \boldsymbol{\eta}) + (\boldsymbol{\eta} \cdot \nabla) \boldsymbol{\eta} \Big] \end{align} $$

네 번째 등호는 곱셈규칙 (b)에 의해 성립한다. 이제 남은 계산을 하나씩 해보면

  • Part 1. $(\boldsymbol{\eta} \cdot \nabla)\boldsymbol{\eta}$

$$ \begin{align*} (\boldsymbol{\eta} \cdot \nabla ) \boldsymbol{\eta} &= (\boldsymbol{\eta} \cdot \nabla ) \mathbf{r} - ( \boldsymbol{\eta} \cdot \nabla) \mathbf{w} \\ &= \boldsymbol{\eta} - \mathbf{v} ( \boldsymbol{\eta} \cdot \nabla t_r) \end{align*} $$

두 번째 등호는 임의의 벡터 $\mathbf{A}$에 대해서 $(\mathbf{A} \cdot \nabla )\mathbf{r}=\mathbf{A}$1, $(\boldsymbol{\eta} \cdot \nabla)\mathbf{A}=\frac{\partial \mathbf{A} }{\partial t_r}(\boldsymbol{\eta} \cdot \nabla t_r)$2이므로 $(\boldsymbol{\eta} \cdot \nabla )\mathbf{r}=\boldsymbol{\eta}$, $( \boldsymbol{\eta} \cdot \nabla ) \mathbf{w} = \mathbf{v}(\boldsymbol{\eta} \cdot \nabla t_r)$이기 때문에 성립한다.

  • Part 2. $\nabla \times \boldsymbol{\eta}$

$$ \begin{align*} \nabla \times \boldsymbol{\eta} &= \nabla \times \mathbf{r} -\nabla \times \mathbf{w} \\ &= -\nabla \times \mathbf{w} \\ &= -(- \mathbf{v} \times \nabla t_r ) \\ \mathbf{v} \times \nabla t_r \end{align*} $$

두 번째 등호는 $\nabla \times \mathbf{r}=0$이므로 성립한다. $\mathbf{r}$의 각 성분은 다른 성분에는 독립적이므로 당연한 결과이다. 무슨 말인지 모르겠다면 $\mathbf{r}=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}}$라고 두고 직접 계산해보라. 세 번째 등호는 임의의 벡터 $\mathbf{A}$에 대해서 $\nabla \times \mathbf{A} = -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \times \nabla t_r$3이므로 $\nabla \times \mathbf{w}=-\mathbf{v}\times\nabla t_r$이므로 성립한다.

  • Part 3. 결론

따라서 위 두 결과를 $(1)$에 대입하면

$$ \begin{align*} \nabla \eta &= \frac{1}{\eta} \Big[ \boldsymbol{\eta} -\mathbf{v}(\boldsymbol{\eta} \cdot \nabla t_r) + \boldsymbol{\eta} \times (\mathbf{v} \times \nabla t_r) \Big] \\ &= \frac{1}{\eta} \Big[ \boldsymbol{\eta} -\mathbf{v}(\boldsymbol{\eta} \cdot \nabla t_r) + \mathbf{v}(\boldsymbol{\eta} \cdot \nabla t_r)-\nabla t_r(\boldsymbol{\eta} \cdot \mathbf{v}) \Big] \\ &= \frac{1}{\eta} \Big[ \boldsymbol{\eta} -\nabla t_r (\boldsymbol{\eta} \cdot \mathbf{v} )\Big] \end{align*} $$

두 번째 등호는 BAC-CAB 공식에 의해 성립한다. 정리하면

$$ \begin{align*} && -c \nabla t_r = \nabla \eta &= \frac{1}{\eta} \Big[ \boldsymbol{\eta} -\nabla t_r (\boldsymbol{\eta} \cdot \mathbf{v} )\big] \\ \implies && \boldsymbol{\eta} - \nabla t_r(\boldsymbol{\eta} \cdot \mathbf{v}) &= -\eta \nabla t_r \\ \implies && \nabla t_r &= \frac{-\boldsymbol{\eta}}{\eta c - (\boldsymbol{\eta} \cdot \mathbf{v})} \end{align*} $$

이는 전하가 움직이지 않을 때도 성립하는 일반적인 결과이다. $t_r=t-\frac{\eta}{c}$이므로

$$ \nabla t_r = -\nabla \frac{\eta}{c}=-\frac{1}{c} \nabla \eta $$

이때 $\nabla \eta = \hat{\boldsymbol{\eta}}$이므로

$$ \nabla t_r=-\frac{1}{c} \hat{ \boldsymbol{\eta}} $$

위의 결과에서 $\mathbf{v}=\mathbf{0}$을 대입하면 같다.


  1. 두 번째 항 참고 ↩︎

  2. 첫 번째 항 참고 ↩︎

  3. 세 번째 항 참고 ↩︎

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