곡선 좌표계에서 스칼라 함수의 그래디언트기울기

곡선 좌표계에서 스칼라 함수의 그래디언트기울기

gradient of a scalar function in a cuvilinear coordinate system

정리

곡선 좌표계에서 스칼라 함수 $f=f(q_{1},q_{2},q_{3})$의 그래디언트를 다음과 같다.

$$ \nabla f= \frac{1}{h_{1}}\frac{ \partial f }{ \partial q_{1} } \hat{\mathbf{q}}_{1} + \frac{1}{h_{2}}\frac{ \partial f }{ \partial q _{2}}\hat{\mathbf{q}}_{2}+\frac{1}{h_{3}}\frac{ \partial f }{ \partial q_{3} } \hat{\mathbf{q}}_{3}=\sum \limits _{i=1} ^{3}\frac{1}{h_{i}}\frac{ \partial f}{ \partial q_{i}}\hat{\mathbf{q}}_{i} $$

$h_{i}$는 스케일 팩터이다.

공식

  • 직교 좌표계:

    $$ h_{1}=h_{2}=h_{3}=1 $$

    $$ \nabla f= \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{\hat{\mathbf{x}} }+ \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{\hat{\mathbf{y}}} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{\hat{\mathbf{z}}} $$

  • 원통 좌표계:

    $$ h_{1}=1,\quad h_{2}=\rho,\quad h_{3}=1 $$

    $$ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{\hat \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{\hat{\mathbf{z}}} $$

  • 구 좌표계:

    $$ h_{1}=1,\quad h_{2}=r\quad, h_{3}=r\sin\theta $$

    $$ \nabla f= \frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{\hat r} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \boldsymbol{\hat \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi} $$

유도

3차원 데카르트 좌표계에서 다음과 같은 식을 만족하는 $\mathbf{a}$를 $f$의 그래디언트라고 이름 붙이고 $\nabla f$라고 표기하기로 정의했다.

$$ d f =\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} $$

임의의 곡선 좌표계에서도 이와 같은 식으로 정의한다. $f$의 전미분은 아래와 같다.

$$ d f = \frac{ \partial f}{ \partial q_{1} }dq_{1}+\frac{ \partial f}{ \partial q_{2}}dq_{2}+\frac{ \partial f}{ \partial q_{3}}dq_{3} $$

곡선 좌표계에서 위치벡터 $\mathbf{r}$의 미소 변화량은 다음과 같다.

$$ d\mathbf{r}=h_{1}dq_{1}\hat{\mathbf{q}}_{1}+h_{2}dq_{2}\hat{\mathbf{q}}_{2}+h_{3}dq_{3}\hat{\mathbf{q}}_{3} $$

이제 우리가 찾고자 하는 것은 아래의 식을 만족시키는 $\mathbf{a}$이다.

$$ \begin{equation} df=\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} \label{eq1} \end{equation} $$

$\mathbf{a}=a_{1}\hat{\mathbf{q}}_{1}+a_{2}\hat{\mathbf{q}}_{2}+a_{3}\hat{\mathbf{q}}_{3}$라고 하면 $\eqref{eq1}$은 아래와 같다.

$$ \frac{ \partial f}{ \partial q_{1} }dq_{1}+\frac{ \partial f}{ \partial q_{2}}dq_{2}+\frac{ \partial f}{ \partial q_{3}}dq_{3} = a_{1}h_{1}dq_{1}+a_{2}h_{2}dq_{2}+a_{3}h_{3}dq_{3} $$

따라서 $a_{i}=\dfrac{1 }{h_{i}}\dfrac{ \partial f}{ \partial q_{i} }$이고 다음이 성립한다.

$$ \quad \mathbf{a}=\frac{1 }{h_{1}}\frac{ \partial f}{ \partial q_{1} }\hat{\mathbf{q}}_{1}+\frac{1 }{h_{2}}\frac{ \partial f}{ \partial q_{2} }\hat{\mathbf{q}}_{2}+\frac{1 }{h_{3}}\frac{ \partial f}{ \partial q_{3} }\hat{\mathbf{q}}_{3} $$

이제 위와 같은 벡터 $\mathbf{a}$를 $f$의 그래디언트라고 정의하고 $\nabla f$라고 표기한다.

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