곡선좌표계에서의 그래디언트 다이벌전스 컬 라플라시안

곡선좌표계에서의 그래디언트 다이벌전스 컬 라플라시안

gradient divergence curl and laplacian in a curved coordinates system

설명

물리학에서 델 연산자 $\nabla$가 포함된 4가지 연산 그래디언트(기울기), 다이벌전스(발산), 컬(회전), 라플라시안은 매우 중요하다. 따라서 3가지 좌표계에 대한 위 연산을 반드시 알아야한다. 물론 이 말은 외워야한다는 뜻이 아니다. 물리학 공부는 이런 식을 외우는 것이 아니기 때문이다. 공부하다 보면 자연스레 외워질 것이므로 일부러 외우려하지 말고 공식을 프린트해서 가지고 다니거나, 이 페이지를 즐겨찾기 해놓고 필요할 때 바로 꺼내보자.

공식

$f$는 스칼라함수, 벡터 함수$\mathbf A$는 $\mathbf A= A_1\mathbf{\hat e_1}+A_2\mathbf{\hat e_2}+A_3\mathbf{\hat e_3}$라고 하자.

  • 그래디언트:

    $$ \begin{align*} \nabla f &= \mathbf{\hat e_1}\frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial e_1}+ \mathbf{\hat e_2}\frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial e_2}+\mathbf{\hat e_3}\frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial e_3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^3 \mathbf{\hat e_i}\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial e_i} \end{align*} $$

  • 다이벌전스:

    $$ \nabla \cdot \mathbf A=\frac{1}{h_1h_2h_3} \left[ \frac{\partial}{\partial e_1} (h_2h_3A_1) + \frac{\partial}{\partial e_2} (h_1h_3A_2) + \frac{\partial}{\partial e_3} (h_1h_2A_3) \right] $$

  • 컬:

    $$ \nabla \times \mathbf A =\frac{1}{h_1h_2h_3} \begin{vmatrix} h_1 \mathbf{\hat e_1} & h_2 \mathbf{\hat e_2} & h_3 \mathbf{\hat e_3} \\ \dfrac{\partial}{\partial e_1} & \dfrac{\partial }{\partial e_2} & \dfrac{\partial}{\partial e_3} \\ h_1A_1 & h_2A_2 & h_3A_3 \end{vmatrix} $$

  • 라플라시안:

    $$ \begin{align*} & \nabla \cdot (\nabla f) \\ =&\ \nabla ^2 f \\ =&\ \frac{1}{h_1h_2h_3} \left[ \frac{\partial }{\partial e_1} \left( \frac{h_2h_3}{h_1} \frac{\partial f}{\partial e_1} \right) +\frac{\partial }{\partial e_2} \left( \frac{h_1h_3}{h_2} \frac{\partial f}{\partial e_2} \right) + \frac{\partial }{\partial e_3} \left( \frac{h_1h_2}{h_3} \frac{\partial f}{\partial e_3} \right) \right] \end{align*} $$

이 때 각 좌표계별 단위벡터, 스케일 팩터는 다음과 같다.

  • 직교 좌표계:

    $$ \mathbf{\hat{e_{1}}}=\mathbf{\hat{\mathbf{x}}},\quad\mathbf{\hat{e_{2}}}=\mathbf{\hat{\mathbf{y}}},\quad\mathbf{\hat{e_{3}}}=\mathbf{\hat{\mathbf{z}}},\quad h_{1}=1,\quad h_{2}=1,\quad h_{3}=1 $$

  • 원통 좌표계:

    $$ \mathbf{\hat{e_{1}}}=\boldsymbol{\hat \rho},\quad\mathbf{\hat{e_{2}}}=\boldsymbol{\hat \phi},\quad\mathbf{\hat{e_{3}}}=\mathbf{\hat{\mathbf{z}}},\quad h_{1}=1,\quad h_{2}=\rho,\quad h_{3}=1 $$

  • 구면 좌표계

    $$ \mathbf{\hat{e_{1}}}=\mathbf{\hat r},\quad\mathbf{\hat{e_{2}}}=\boldsymbol{\hat \theta},\quad\mathbf{\hat{e_{3}}}=\boldsymbol{\hat \phi},\quad h_{1}=1,\quad h_{2}=r,\quad h_{3}=r\sin\theta $$

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