기하 분포

기하 분포

정의 1

pmf.gif

$p \in (0,1]$ 에 대해 다음과 같은 확률 질량 함수를 가지는 이산 확률 분포 $\text{Geo}(p)$ 를 기하 분포Geometric Distribution라고 한다. $$ p(x) = p (1 - p)^{x-1} \qquad , x = 1 , 2, 3, \cdots $$


기초 성질

적률 생성 함수

평균과 분산

충분통계량과 최소우도추정량

정리

무기억성

기하분포로의 일반화

설명

지수분포와의 관계

기하 분포는 확률 $0 < p \le 1$ 로 성공하느냐 실패하느냐의 시행을 몇 번만에 성공하는지에 관심을 가진다. 그 확률 질량 함수는 각각의 시행에서 확률 $(1-p)$ 로 $x-1$ 번 실패한 끝에 확률 $p$ 로 마지막에 성공할 확률을 나타낸다. 이러한 성질에서 지수 분포의 이산화로 볼 수 있다.

명명

이러한 분포가 기하 분포라고 불리는 이유는 확률 질량 함수가 기하수열의 꼴을 가지고 있기 때문이다. $a := p$, $r := (1-p)$ 라고 두면 $p(x) = a r ^{x-1}$ 의 익숙한 식을 얻는다. 실제로 적률 생성 함수를 구할 때도 기하 급수 공식이 등장한다.

증명

[1]

$$ \begin{align*} M(t) =& \sum_{x=1}^{\infty} e^{tx} p(x) \\ =& \sum_{x=1}^{\infty} e^{tx} p (1-p)^{x-1} \\ =& p e^{t} \sum_{x=1}^{\infty} \left[ e^{t}(1-p) \right]^{x-1} \end{align*} $$ $ t < -\log (1-p)$ 일 때는 기하 급수 공식에 따라 $$ p e^{t} \sum_{x=1}^{\infty} \left[ e^{t}(1-p) \right]^{x-1} = {{ p e^{t} } \over { 1 - (1-p) e^{t} }} $$

[2]

두가지 방법이 있다.

[3]

직접 연역한다.

[a]

조건부 확률로 연역한다.

[b]

적률생성함수로 연역한다.

코드

다음은 기하분포의 확률질량함수를 움짤로 보여주는 줄리아 코드다.

@time using LaTeXStrings
@time using Distributions
@time using Plots

cd(@__DIR__)

x = 0:20
P = collect(0.01:0.01:0.5); append!(P, reverse(P))

animation = @animate for p  P
    scatter(x, pdf.(Geometric(p), x),
     color = :black, markerstrokecolor = :black,
     label = "p = $(rpad(p, 4, '0'))", size = (400,300))
    xlims!(0,20); ylims!(0,0.3); title!(L"\mathrm{pmf\,of\,Geo}(p)")
end
gif(animation, "pmf.gif")

  1. Hogg et al. (2013). Introduction to Mathematical Statistcs(7th Edition): p145. ↩︎

댓글