측지곡률은 내재적이다

측지곡률은 내재적이다

정리1

곡면위의 곡선측지곡률 $\kappa_{g}$는 내재적이다.

설명

다시말해 $\kappa_{g}$는 단위 노멀 $\mathbf{n}$없이 리만 메트릭의 계수만으로 계산할 수 있다는 의미이다. 물론 다음과 같이 외재적 공식extrinsic formula으로도 표현할 수 있다. $\kappa \mathbf{N} = \mathbf{T}^{\prime} = \alpha^{\prime \prime} = \kappa_{n}\mathbf{n}+ \kappa_{g}\mathbf{S}$이므로,

$$ \begin{align*} \kappa_{g} =&\ \left\langle \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \left[ \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] \\ =&\ \left[ \mathbf{n}, \mathbf{T}, \mathbf{T}^{\prime} \right] \\ =&\ \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \mathbf{T}^{\prime} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \kappa \mathbf{N} \right\rangle \\ =&\ \kappa \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \mathbf{N} \right\rangle \\ =&\ \kappa \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{B} \right\rangle \\ =&\ \kappa \cos \theta \end{align*} $$

여기서 $\left[ \cdot, \cdot, \cdot \right]$은 스칼라 삼중곱을 의미한다. $\mathbf{B}$는 바이노멀이다. $\theta$는 $\mathbf{n}$과 $\mathbf{B}$ 사이의 각도이다.

증명


$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$를 좌표조각사상, $(u_{1}, u_{2})$를 $U$의 좌표라 하자. 그 위의 곡선 $\alpha (s) = \mathbf{x}\left( u_{1}(s), u_{2}(s) \right)$가 주어졌다고 하자. 그러면 $\alpha^{\prime \prime}$은 다음과 같이 표현된다.

$$ \alpha^{\prime \prime}(s) = \kappa_{n}(s)\mathbf{n}(s) + \kappa_{g}(s)\mathbf{S}(s) $$

$\mathbf{n}$은 단위 노멀, $\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \mathbf{T}$이다. 또한 $\mathbf{x}_{i}$, $\mathbf{x}_{ij}$는 각각 $\mathbf{x}$의 1계, 2계 편 도함수이다.

$$ \mathbf{x}_{i} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{i}} \quad \text{and} \quad \mathbf{x}_{ij} := \dfrac{\partial^{2} \mathbf{x}}{\partial u_{j} \partial u_{i}} $$


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p106-107 ↩︎

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