측지곡률은 내재적이다

측지곡률은 내재적이다

geodesic curvature is intrinsic

정리1

곡면위의 곡선측지곡률 $\kappa_{g}$는 내재적이다.

설명

다시말해 $\kappa_{g}$는 단위 노멀 $\mathbf{n}$없이 리만 메트릭의 계수만으로 계산할 수 있다는 의미이다. 물론 다음과 같이 외재적 공식extrinsic formula으로도 표현할 수 있다. $\kappa \mathbf{N} = \mathbf{T}^{\prime} = \alpha^{\prime \prime} = \kappa_{n}\mathbf{n}+ \kappa_{g}\mathbf{S}$이므로,

$$ \begin{align*} \kappa_{g} =&\ \left\langle \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \left[ \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] \\ =&\ \left[ \mathbf{n}, \mathbf{T}, \mathbf{T}^{\prime} \right] \\ =&\ \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \mathbf{T}^{\prime} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \kappa \mathbf{N} \right\rangle \\ =&\ \kappa \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \mathbf{N} \right\rangle \\ =&\ \kappa \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{B} \right\rangle \\ =&\ \kappa \cos \theta \end{align*} $$

여기서 $\left[ \cdot, \cdot, \cdot \right]$은 스칼라 삼중곱을 의미한다. $\mathbf{B}$는 바이노멀이다. $\theta$는 $\mathbf{n}$과 $\mathbf{B}$ 사이의 각도이다.

증명

  • $g_{ij}$ : 리만 메트릭의 계수
  • $L_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle$ : 제2 기본 형식의 계수
  • $\Gamma_{ij}^{k} = \sum \limits_{l=1}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk}$ : 크리스토펠 심볼

$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$를 좌표조각사상, $(u_{1}, u_{2})$를 $U$의 좌표라 하자. 그 위의 곡선 $\alpha (s) = \mathbf{x}\left( u_{1}(s), u_{2}(s) \right)$가 주어졌다고 하자. 그러면 $\alpha^{\prime \prime}$은 다음과 같이 표현된다.

$$ \alpha^{\prime \prime}(s) = \kappa_{n}(s)\mathbf{n}(s) + \kappa_{g}(s)\mathbf{S}(s) $$

$\mathbf{n}$은 단위 노멀, $\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \mathbf{T}$이다. 또한 $\mathbf{x}_{i}$, $\mathbf{x}_{ij}$는 각각 $\mathbf{x}$의 1계, 2계 편 도함수이다.

$$ \mathbf{x}_{i} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{i}} \quad \text{and} \quad \mathbf{x}_{ij} := \dfrac{\partial^{2} \mathbf{x}}{\partial u_{j} \partial u_{i}} $$

  • Part 1.

    우선 단위 노멀과 접평면의 기저들의 스칼라 삼중곱을 다음과 같이 나타내자.

    $$ \epsilon _{ij} = \langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{i} \times \mathbf{x}_{j} \rangle = \left[ \mathbf{n}, \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right] $$

    그러면, $\mathbf{x}_{i} \times \mathbf{x}_{i} = \mathbf{0}$이므로, 각각의 값은 다음과 같다.

    $$ \epsilon_{11} = \epsilon_{22} = 0 $$

    $\mathbf{n}$은 정의에 의해 $\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2}$와 수직하므로,

    $$ \langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \rangle = \left| \mathbf{n} \right| \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right| $$

    여기서 $\mathbf{n}$은 단위벡터이고, $g = \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right|^{2}$이므로

    $$ \epsilon_{12} = \langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \rangle = -\langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{2} \times \mathbf{x}_{1} \rangle = -\epsilon_{21} = \sqrt{g} $$

  • Part 2.

    $\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \mathbf{T}$이므로,

    $$ \kappa _{g}\mathbf{S} = \left\langle k_{g} \mathbf{S}, \mathbf{S} \right\rangle = \left\langle k_{g} \mathbf{S}, \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle = \left[ \kappa_{g}\mathbf{S}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] $$

    공식

    $$ \kappa_{g}\mathbf{S} = \sum \limits_{i=1}^{2} \left[ u_{k}^{\prime \prime} + \sum \limits_{i,j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k}u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime} \right] \mathbf {x}_{k} $$

    탄젠트 벡터는 $\mathbf{T} = \mathbf{x}_{l}u_{l}^{\prime}$이고, 위의 공식에 따라 $\kappa_{g}$는 다음과 같이 계산된다.

    $$ \begin{align*} \kappa_{g} =&\ \left\langle k_{g} \mathbf{S}, \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle = \left[ \kappa_{g}\mathbf{S}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] \\ =&\ \left\langle \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right)\mathbf{x}_{k} , \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left\langle \mathbf{x}_{k} , \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left[\mathbf{x}_{k}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left[\mathbf{n}, \mathbf{T}, \mathbf{x}_{k} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left[\mathbf{n}, \mathbf{x}_{l}u_{l}^{\prime}, \mathbf{x}_{k} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) u_{l}^{\prime} \left[\mathbf{n}, \mathbf{x}_{l}, \mathbf{x}_{k} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) u_{l}^{\prime} \epsilon_{lk} \end{align*} $$

    여기서 $\Gamma_{ij}^{k}$는 내재적이고, Part 1.에 의해 $\epsilon_{lk}$도 내재적이므로, $\kappa_{g}$는 내재적이다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p106-107 ↩︎

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