일반화된 횔더 부등식, 횔더 부등식의 따름정리

일반화된 횔더 부등식, 횔더 부등식의 따름정리

설명

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. 다음의 식을 만족시키는 두 상수 $1 \lt p \lt \infty, 1 \lt p^{\prime} \lt \infty$가 주어졌다고 하자.

$$ \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = 1 \left(\text{or } p^{\prime} = \frac{p}{p-1} \right) $$

만약 $u \in L^p(\Omega)$, $v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)$이면 $uv \in L^1(\Omega)$이고 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \| uv \|_{1} = \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}} $$

위 정리의 부등식을 횔더 부등식이라 한다. 횔더 부등식으로부터 아래의 두 따름정리가 성립함을 쉽게 보일 수 있다.

정리1

정리1

만약 세 상수 $p>0, q>0, r>0$이 $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{r}$을 만족하고 $u \in {L}^{p}(\Omega), v \in {L}^{q}(\Omega)$이면 $uv \in L^{r}(\Omega)$이고 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \| uv \|_{r} = \left( \int_{\Omega} |u(x)v(x)|^{r} dx \right)^{1/r} \le \| u \|_{p} \| v \|_{q} $$


$r=1$인 경우에 횔더 부등식과 같다.

증명

가정에 의해

$$ \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{r} \implies \dfrac{1}{p/r}+\dfrac{1}{q/r}=1 $$

그리고 $u \in L^p(\Omega)$라고 가정했으므로 $\left( \int_{\Omega}|u|^p dx \right)^{1/p} < \infty$이고, 따라서

$$ \left( \int_{\Omega}|u^r|^{\frac{p}{r}} dx \right)^{1/p} < \infty \implies \left( \int_{\Omega}|u^r|^{\frac{p}{r}} dx\right)^{r/p} < \infty $$

그러므로 $u^r \in {L}^{p/r}(\Omega)$이고 $v^r \in{L}^{q/r}(\Omega)$도 같은 방법으로 확인할 수 있다. 그러면 횔더 부등식에 의해

$$ \int_{\Omega} |u(x)v(x)|^{r} dx = \int_{\Omega} |u^{r}(x)v^{r}(x) | dx \le \| u^r \|_{p/r} \|v^r\|_{q/r} $$

우변을 적분꼴로 다시 적으면

$$ \begin{align*} \int_{\Omega} |u(x)v(x)|^{r} dx \le& \left(\int_{\Omega} |u(x)^{r}|^{p/r} dx \right)^{q/p} \left(\int_{\Omega} |v(x)^r|^{q/r} dx \right)^{r/q} \\ =&\ \left(\int_{\Omega}|u(x)|^{p} dx \right)^{r/p} \left(\int_{\Omega} |v(x)|^{q} dx \right)^{r/q} \end{align*} $$

양변에 $\dfrac{1}{r}$승을 취하면

$$ \left( \int_{\Omega} |u(x)v(x)|^rdx \right)^{1/r} \le \left(\int_{\Omega}|u(x)|^{p} dx \right)^{1/p} \left(\int_{\Omega} |v(x)|^{q} dx \right)^{1/q} $$

따라서

$$ \| uv \|_{r} = \left( \int_{\Omega} |u(x)v(x)|^rdx \right)^{1/r} \le \| u \|_{p} \| v\|_{q} $$

정리2

$1\le j \le N$에 대해서 $p_j>0$이고 $\sum\limits_{j=1}^N\dfrac{1}{{p}_j}=\dfrac{1}{{p}_1}+\dfrac{1}{{p}_2}+\cdots+\dfrac{1}{{p}_N}=\dfrac{1}{r}$이라고 하자. 그리고 $u=\prod _{j=1}^N u_j=u_1u_2\dots u_N$이고 $u_j\in L^{{p}_j}(\Omega)$라고 가정하자. 그러면 $u\in {L}^r (\Omega)$이고 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \| u \|_{r} = \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{r} dx \right)^{1/r} \le \prod_{j=1}^{N} \| u_{j} \|_{{p}_j} = \| u_{1} \|_{{p}_1} \cdots \| u_{N} \|_{p_{N}} $$


위의 정리1이 두 함수에 대한 것 뿐만 아니라 임의의 $N$개의 함수에 대해서도 성립함을 알 수 있다.

증명

수학적 귀납법을 사용한다. 우선 $N=2$일 때는 정리1에 의해서 성립한다. 그러면 $N=k$일 때 성립한다고 가정했을 때 $N=k+1$일 때도 성립함을 보이면 증명이 끝난다.


$\sum\limits_{j=1}^k \dfrac{1}{{p}_j}=\dfrac{1}{r}$이고 $N=k$일 때 성립한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \left\| \prod_{j=1}^N u_{j} \right\|_{r} \le \| u_{1} \|_{p_{1}} \| u_{2} \|_{p_{2}} \cdots \| u_{k} \|_{p_{k}} $$

이제 $\sum_{j=1}^{k+1}\dfrac{1}{{p}_j}=\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{{p}_{k+1}}=\dfrac{1}{r^{\prime}}$라고 하자. 그러면

$$ \begin{align*} \| u \|_{r^{\prime}} =&\ \left\| \left( \prod_{j=1}^k u_j \right) u_{k+1} \right\|_{r^{\prime}} \\ \le& \left\| \prod \limits_{j=1}^{k+1}u_{j} \right\|_{r} \| u_{k+1} \|_{p_{k+1}} \\ \le& \| u_{1} \|_{p_{1}} \| u_{2} \|_{p_{2}} \cdots \| u_{k} \|_{p_{k}} \| u_{k+1} \| _{p_{k+1}} \\ =&\ \prod \limits_{j=1}^{k+1} \| u_{j}\|_{p_{j}} \end{align*} $$

두번째 줄은 정리1에 의해서 성립한다. 세번째 줄은 가정에 의해 성립한다. 따라서 $N=k$일 때 성립한다고 가정하면 $N=k+1$일 때도 성립한다. 그러므로 수학접 귀납법에 의해 증명 완료.

같이보기


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p24-25 ↩︎

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