퍼텐셜, 퍼텐셜 에너지의 일반적인 정의

퍼텐셜, 퍼텐셜 에너지의 일반적인 정의

Generalized Definition of Potential and Potential Energy

정의1

(스칼라) 퍼텐셜

벡터 장 $\mathbf{V}$가 보존장이라고 하자. 다시말해 $\nabla \times \mathbf{V} = \mathbf{0}$이라고 하자. 그러면 $\mathbf{V} = -\nabla W$를 만족하는 스칼라 장 $W$가 존재하고, 이를 $\mathbf{V}$의 (스칼라) 퍼텐셜(scalar) potential이라고 한다.

벡터 퍼텐셜

벡터 장 $\mathbf{V}$가 $\nabla \cdot \mathbf{V} = 0$를 만족한다고 하자. 그러면 $\mathbf{V} = \nabla \times \mathbf{A}$를 만족하는 벡터 장 $\mathbf{A}$가 존재하고, 이를 $\mathbf{V}$의 벡터 퍼텐셜vector potential이라 한다.

설명

potential의 공식 한글 표기는 포텐셜이 아니라 '퍼텐셜' 이다.

스칼라 퍼텐셜은 간단히 퍼텐셜이라고 한다.

벡터 장 $\mathbf{V}$의 단위가 힘force일 경우에, 특별히 퍼텐셜 에너지라고 한다.

역학

퍼텐셜 에너지

1차원에서 힘 $F$의 퍼텐셜 에너지는 다음을 만족하는 $V$로 정의된다.

$$ F(x) = -\dfrac{d V(x)}{d x} $$

이는 위의 정의에서 3차원을 1차원으로 쉽게 만든 것에 불과하다. 또한 $F$는 힘이므로 $V$를 퍼텐셜 에너지라고 부른다.

전자기학

전기 퍼텐셜

전기장 $\mathbf{E}$에 대해서, 다음을 만족하는 스칼라 장 $V$를 전기 퍼텐셜(전위)electric potential이라 한다.

$$ \mathbf{E} = - \nabla V $$

전하량이 $Q$인 시험전하가 받는 전기력은 쿨롱 법칙에 의해 $\mathbf{F} = Q \mathbf{E}$와 같다. 따라서 전기장의 단위는 힘이 아니므로 전기 퍼텐셜을 퍼텐셜 에너지라고 부르지 않는다.

자기 퍼텐셜

자기장 $\mathbf{B}$에 대해서, 다음을 만족하는 벡터 장 $\mathbf{A}$를 자기 퍼텐셜magnetic potential이라 한다.

$$ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} $$

마찬가지로 로런츠 힘 법칙에 의해 자기력은 $\mathbf{F}_{m} = Q (\mathbf{v} \times \mathbf{B})$와 같으므로 $\mathbf{B}$의 단위는 힘이 아니고, 자기 퍼텐셜을 퍼텐셜 에너지라고 부르지 않는다.


  1. Mary L. Boas, 수리물리학(Mathematical Methods in the Physical Sciences, 최준곤 역) (3rd Edition, 2008), p338-339 ↩︎

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