거리공간에서 일반화된 칸토어의 축소 구간 정리

거리공간에서 일반화된 칸토어의 축소 구간 정리

정리1

$(X,d)$가 거리공간이라고 하자. $K_{n}\subset X (n=1,2,\cdots)$는 공집합이 아닌 컴팩트 부분집합이다. 이때 $\left\{ K_{n} \right\}$이

$$ K_{n}\supset K_{n+1}\ (n=1,2,\cdots) $$

를 만족하면 $\bigcap _{i=1}^{\infty} K_{n} \ne \varnothing$이다.


$\left\{ K_{n} \right\}$을 위와 같이 두면 유한 교집합 성질을 가지므로 아래에서 보일 정리의 따름정리로서 바로 성립한다. $K_{n}=I_{n}=[a_{n},b_{n}]$으로 두면 $\mathbb{R}$에서의 칸토어 축소 구간 정리가 된다.

정의

임의의 컬렉션 $\left\{ A_{\alpha} \right\}_{\alpha \in I}$가 주어졌다고 하자. $I$의 모든 유한 부분집합 $J\subset I$에 대해서 아래의 조건을 만족하면 $\left\{A_{\alpha}\right\}$가 유한 교집합 성질을 가졌다고 한다.

$$ \bigcap \limits_{\alpha \in J} A_{\alpha} \ne \varnothing \quad \forall J\subset I, (J\ \mathrm{is\ finite\ set}) $$


쉽게 말하자면, 컬렉션 $\left\{ A_{\alpha} \right\}$안에서 임의의 개수만큼 임의의 집합을 뽑아서 교집합을 취했을 때 절대 공집합이 되지 않을 때 유한 교집합 성질을 가진다고 한다.

정리2

$(X,d)$ 를 거리공간이라고 하자. 그리고 컴팩트 부분 집합 $K_{\alpha}\subset X$들의 컬렉션 $\left\{ K_{\alpha} \right\}$가 유한 교집합 성질을 가진다고 하자. 그러면 컬렉션 전체에 대한 교집합도 공집합이 아니다.

$$ \bigcap_{\alpha} K_{\alpha} \ne \varnothing $$

증명

귀류법으로 증명한다.

$\bigcap_{\alpha}K_{\alpha}=\varnothing$이라고 가정하자. 그리고 컬렉션에서 임의로 하나를 고정하고 이를 $K_{1}$이라 하자. $F_{\alpha}=(K_{\alpha})^{c}$라고 두면 거리공간에서 컴팩트 집합은 닫힌 집합이므로 닫힌 집합의 여집합인 $F_{\alpha}$는 열린 집합이다. 또한 드 모르간 정리에 의헤

$$ K_{1} \subset X =\varnothing^{c}=\left( \bigcap_{\alpha} K_{\alpha} \right)^{c}=\bigcup_{\alpha}F_{\alpha} $$

이므로 $\left\{ F_{\alpha} \right\}$는 $K_{1}$의 오픈 커버이다. $K_{1}$는 컴팩트이므로 $K_{1}$을 커버하는 $\left\{ F_{\alpha} \right\}$의 유한 부분 커버가 존재한다.

$$ K_{1} \subset F_{\alpha_{1}}\cup \cdots \cup F_{\alpha_{n}} $$

위에서 $F_{\alpha}=(K_{\alpha})^{c}$라고 두었으므로 다음이 성립한다.

$$ K_{1}\cap K_{\alpha_{1}}\cap \cdots \cap K_{\alpha_{n}}=\varnothing $$

그런데 이는 $\left\{ K_{\alpha} \right\}$가 유한 교집합 성질을 가는 다는 사실에 모순된다. 따라서 귀류법에 의해 다음이 성립한다.

$$ \bigcap_{\alpha} K_{\alpha} \ne \varnothing $$

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