복소수에 대해 일반화된 이항 계수

복소수에 대해 일반화된 이항 계수

Generalized binomial coefficient

정의

$\alpha \in \mathbb{C}$ 에 대해 다음을 이항 계수Binomial Coefficient라고 한다. $$ \binom{\alpha}{k} := \begin{cases} \displaystyle {{ \alpha ( \alpha - 1 ) \cdots ( \alpha - k + 1 ) } \over { k! }} & , k \in \mathbb{N} \\ 1 & ,k=0 \end{cases} $$

설명

원래 이항 계수는 $\alpha \in \mathbb{N}$ 일 때만 직관적인 의미를 가지지만, 그 계산 과정만 생각해보면 딱히 자연수일 필요가 없다. 당장 생각할 수 있는 음의 정수는 물론 실수, 심지어는 복소수로 확장 가능하다.

정리

$$ \sum_{j=0}^{k} \binom{\alpha}{k-j} \binom{\beta}{j} = \binom{\alpha + \beta}{k} $$

증명

전략: 수학적 귀납법과 지루한 계산 뿐이다.


$k = 0$ 이면 $$ 1 \cdot 1 = 1 $$ $k = 1$ 이면 $$ \alpha \cdot 1 + 1 \cdot \beta = \alpha + \beta $$ $k \ge 1$ 일 때 $\displaystyle \sum_{j=0}^{k} \binom{\alpha}{k-j} \binom{\beta}{j} = \binom{\alpha + \beta}{k}$ 이 성립한다고 가정하면 $$ \begin{align*} \displaystyle \binom{ \alpha + \beta }{ k + 1 } &= \binom{ \alpha + \beta }{ k } {{ \alpha + \beta - k } \over { k + 1 }} \\ =& \sum_{j=0}^{k} \binom{ \alpha }{ k - j } \binom{ \beta }{ j } \left( {{ \alpha - k + j } \over { k + 1 }} + {{ \beta - j } \over { k + 1 }} \right) \\ =& \sum_{j=0}^{k} \left[ {{ k - j + 1 } \over { k + 1 }} \binom{ \alpha }{ k - j + 1 } \binom{ \beta }{ j } + {{ j + 1 } \over { k + 1 }} \binom{ \alpha }{ k - j } \binom{ \beta }{ j + 1 } \right] \\ =& \binom{ \alpha }{ k + 1 } + \sum_{j=1}^{k} \left( {{ k - j + 1 } \over { k + 1 }} + {{ j } \over { k + 1 }} \right) \binom{ \alpha }{ k - j + 1 } \binom{ \beta }{ j } + \binom{ \beta }{ k + 1 } \\ =& \binom{ \alpha }{ k + 1 } + \sum_{j=1}^{k} \binom{ \alpha }{ k - j + 1 } \binom{ \beta }{ j } + \binom{ \beta }{ k + 1 } \\ =& \sum_{j=0}^{k+1} \binom{ \alpha }{ (k + 1) - j } \binom{ \beta }{ j } \end{align*} $$

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