구면좌표계 라플라스 방정식에서 지름 성분 방정식의 일반해

구면좌표계 라플라스 방정식에서 지름 성분 방정식의 일반해

general solution of radial equation for spherical coordinates laplaces equation

정리

구면좌표계 라플라스 방정식에서 지름성분 방정식의 일반해는 아래와 같다.

$$ R(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}R_{l}(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}\left( A_{l}r^{l}+\frac{ B_{l}}{r^{l+1}} \right) $$

이때 $l$은 음이 아닌 정수, $A_{l}$, $B_{l}$은 상수이다.

설명

극각, 방위각에 대한 해보다는 구하는 과정이 비교적 간단하다.

증명

구면좌표계 라플라스 방정식에서 극각 $\theta$와 방위각 $\phi$ 성분에 대한 해를 구면조화함수라고 한다. 구면 조화함수를 구하는 과정에서 지름 성분에 대한 방정식을 아래와 같이 얻는다.

$$ \frac{1}{R}\frac{ d }{ dr }\left( r^{2}\frac{ d R}{ dr } \right)=l(l+1) $$

이때 $l$은 음이 아닌 정수이다. 위 식을 다시 정리하면 아래와 같다.

$$ r^{2}\frac{ d^{2} R}{ dr^{2} }+2r\frac{ d R}{ dr }-l(l+1)R=0 $$

위와 같은 형태의 미분 방정식을 오일러 미분방정식이라 한다. 오일러 미분방정식의 해는 $R(r)=r^{k}$꼴임이 잘 알려져있다. 대입해보면 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} && k(k-1)r^{k}+2kr^{k}-l(l+1)r^{k}=0 \\ \implies && [k^{2}+k-l(l+1)]r^{k}=0 \\ \implies && k^{2}+k-l(l+1)=0 \end{align*} $$

이는 간단한 2차 방정식이다. 풀면 $k_{1}=l$, $k_{2}=-l-1$이다. 따라서 다음을 얻는다.

$$ R_{l}(r)=A_{l}r^{l}+\frac{ B_{l}}{r^{l+1}} $$

일반해는 모든 $l$에 대한 해를 합한 것이므로 다음과 같다.

$$ R(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}R_{l}(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}\left( A_{l}r^{l}+\frac{ B_{l}}{r^{l+1}} \right) $$

댓글