구면좌표계 라플라스 방정식에서 지름 성분 방정식의 일반해

구면좌표계 라플라스 방정식에서 지름 성분 방정식의 일반해

정리

구면좌표계 라플라스 방정식에서 지름성분 방정식의 일반해는 아래와 같다.

$$ R(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}R_{l}(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}\left( A_{l}r^{l}+\frac{ B_{l}}{r^{l+1}} \right) $$

이때 $l$은 음이 아닌 정수, $A_{l}$, $B_{l}$은 상수이다.

설명

극각, 방위각에 대한 해보다는 구하는 과정이 비교적 간단하다.

증명

구면좌표계 라플라스 방정식에서 극각 $\theta$와 방위각 $\phi$ 성분에 대한 해를 구면조화함수라고 한다. 구면 조화함수를 구하는 과정에서 지름 성분에 대한 방정식을 아래와 같이 얻는다.

$$ \frac{1}{R}\frac{ d }{ dr }\left( r^{2}\frac{ d R}{ dr } \right)=l(l+1) $$

이때 $l$은 음이 아닌 정수이다. 위 식을 다시 정리하면 아래와 같다.

$$ r^{2}\frac{ d^{2} R}{ dr^{2} }+2r\frac{ d R}{ dr }-l(l+1)R=0 $$

위와 같은 형태의 미분 방정식을 오일러 미분방정식이라 한다. 오일러 미분방정식의 해는 $R(r)=r^{k}$꼴임이 잘 알려져있다. 대입해보면 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} && k(k-1)r^{k}+2kr^{k}-l(l+1)r^{k}=0 \\ \implies && [k^{2}+k-l(l+1)]r^{k}=0 \\ \implies && k^{2}+k-l(l+1)=0 \end{align*} $$

이는 간단한 2차 방정식이다. 풀면 $k_{1}=l$, $k_{2}=-l-1$이다. 따라서 다음을 얻는다.

$$ R_{l}(r)=A_{l}r^{l}+\frac{ B_{l}}{r^{l+1}} $$

일반해는 모든 $l$에 대한 해를 합한 것이므로 다음과 같다.

$$ R(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}R_{l}(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}\left( A_{l}r^{l}+\frac{ B_{l}}{r^{l+1}} \right) $$

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