2계 선형 비동차 미분방정식의 일반해

2계 선형 비동차 미분방정식의 일반해

general solution of nonhomogeneous second order linear differential equation

보조정리1

아래와 같은 비동차/동차 2계 선형 미분방정식을 생각해보자.

$$ \begin{align} y^{\prime \prime}+p(t)y^\prime + q(t)y &=g(t) \label{eq1} \\ y^{\prime \prime}+p(t)y^\prime + q(t)y &=0 \label{eq2} \end{align} $$

이 때 $y_{1} (t)$와 $y_{2} (t)$가 비동차 미분방정식 $\eqref{eq1}$의 해이고, $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$가 동차 미분방정식 $\eqref{eq2}$의 기본 해집합이라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다.

$$ y_{1} (t) – y_{2} (t)= c_1y_{1} (t)+c_2y_{2}(t) $$

여기서 $c_{1}, c_{2}$는 상수이다.

증명

미분연산자 $L$을 다음과 같이 정의하자.

$$ L[y] := y^{\prime \prime} + p(t)y^\prime + q(t)y $$

그러면 $y_{1}$과 $y_{2}$가 비동차 미분방정식 $\eqref{eq1}$의 해이므로

$$ L[y_{1}]=g(t) \quad \text{and} \quad L[y_{2}]=g(t) $$

두 식을 빼면 $L[y_{1}]-L[y_{2}]=g(t)-g(t)=0$이다. 이 때 $L$은 선형 연산자이므로 다음을 만족한다.

$$ L[y_{1}] - L[y_{2}] = L[ y_{1} – y_{2}]=0 $$

$y_{1} – y_{2}$가 $L[y_{1} – y_{2}]=0$을 만족하므로 $y_{1} – y_{2}$는 동차 미분방정식 $\eqref{eq2}$의 해이다.

또한 동차 미분방정식의 어떤 해라도 기본 집합의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 그러므로 다음이 성립한다.

$$ y_{1} – y_{2}=c_1y_{1} + c_2y_{2} $$

위의 보조정리를 통해 비동차 미분방정식의 일반해를 이끌어낼 수 있다.

정리

아래와 같은 비동차/동차 2계 선형 미분방정식을 생각해보자.

$$ \begin{align} y^{\prime \prime}+p(t)y^\prime + q(t)y &=g(t) \tag{1} \\ y^{\prime \prime}+p(t)y^\prime + q(t)y &=0 \tag{2} \end{align} $$

이 때 $\phi (t), Y(t)$가 비동차 미분방정식 $\eqref{eq1}$의 해이고, $y_{1}, y_{2}$가 동차 미분방정식 $\eqref{eq2}$의 기본 해집합이라고 하자. 그러면 비동차 미분방정식 $\eqref{eq2}$의 일반해는 다음과 같다.

$$ \phi (t) = c_1y_{1} (t) +c_2y_{2} (t) +Y(t) $$

여기서 $c_{1}, c_{2}$는 상수이다.

설명

$c_1y_{1} + c_2y_{2}$를 보조해complementary solution라고 한다. $Y$를 특수해particular solution라고 한다. 위의 두 정리로부터 비동차 미분방정식의 일반해를 구하는 과정을 간략하게 나타내면 다음과 같다.

  1. 비동차 미분방정식을 동차 미분방정식이라고 가정하고 일반해를 구한다. 이를 보조해라고 한다.
  2. 비동차 미분방정식을 만족하는 임의의 해를 하나 구한다. 이를 특수해라고 한다.
  3. 보조해와 특수해의 합이 비동차 미분방정식의 일반해가 된다.

증명

$\phi$와 $Y$를 비동차 미분방정식 $\eqref{eq2}$의 임의의 해라고 하자. 보조정리에서 $y_{1}, y_{2}$ 대신에 $\phi, Y$를 대입하자. 그러면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$ \phi – Y = c_1y_{1} +c_2y_{2} \implies \phi (t) = c_1y_{1} (t) +c_2y_{2}(t) +Y (t) $$

따라서 비동차 미분방정식의 일반해는 동차 미분방정식의 일반해와 비동차 미분방정식의 임의의 해의 합으로 나타난다.


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p134 ↩︎

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