구면 좌표계 라플라스 방정식의 일반해

구면 좌표계 라플라스 방정식의 일반해

정리

구면좌표계에서 라플라스 방정식은 아래와 같다.

$$ \nabla ^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 \phi}=0 $$

설명

$f$가 $f(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)$로 변수분리가능하다고 가정하자. 지름 성분에 대한 일반해는 오일러 미분 방정식을 풀어서 아래와 같이 구할 수 있다.

$$ R(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}R_{l}(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}\left( A_{l}r^{l}+\frac{ B_{l}}{r^{l+1}} \right) $$

극각 $\theta$와 방위각 $\phi$에 대한 해는 특별히 구면 조화함수라고 하며, 다음과 같다.

$$ Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=e^{im\phi}P_{l}^{m}(\cos \theta) $$

여기서 $P_{l}^{m}$은 연관 르장드르 다항식이다. 이때 $l$은 음이 아닌 정수이고 $m$은 $-l\le m \le l$을 만족하는 정수이다. 따라서 $\theta$, $\phi$ 성분에 대한 일반해는 아래와 같다.

$$ \Theta(\theta)\Phi(\phi)=\sum\limits_{l=0}^{\infty}\sum\limits_{m=-l}^{l}e^{im\phi}P_{l}^{m}(\cos\theta) $$

위 두 결과를 종합하면 구면좌표계에서 라플라스 방정식의 일반해를 아래와 같이 얻는다.

$$ \begin{align*} f(r,\theta,\phi)&=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) \\ &=\sum \limits_{l=0}^{\infty}\sum\limits_{m=-l}^{l}\left( A_{l}r^{l}+\frac{ B_{l}}{r^{l+1}} \right)e^{im\phi}P_{l}^{m}(\cos\theta) \end{align*} $$

만약 지름 성분에 대해서 대칭성을 가질경우 라플라스 방정식의 해는 구면 조화함수이다. 방위각 $\phi$에 대한 대칭성이 있는 경우 해는 아래와 같다.

$$ f(r,\theta) = \sum \limits_{l=0} ^\infty \left( A_l r^l + \dfrac{B_l}{r^{l+1} } \right) P_l(\cos \theta) $$

이때 $P_{l}(x)$는 르장드르 다항식이다.

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